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Sagot :
On étudie les 4 cas possibles pour les parités de x et y
- x et y sont pairs. Ils s'écrivent donc sous la forme x = 2 x a et y = 2 x b
x + y = 2 x a + 2 x b = 2 x (a + b) , c'est un multiple de 2 donc x+y est pair
x - y = 2 x a - 2 x b = 2 x (a - b) , c'est un multiple de 2 donc x-y est pair
Donc (x+y) et (x-y) ont la même parité quand x et y sont pairs
- x et y sont impairs: Ils s'écrivent donc sous la forme x = 2 x a + 1 et y = 2 x b + 1
x + y = 2 x a + 1 + 2 x b + 1 = 2 x (a + b + 1) c'est un multiple de 2 donc x+y est pair
x - y = 2 x a + 1 - 2 x b - 1 = 2 x (a - b) c'est un multiple de 2 donc x-y est pair
Donc (x+y) et (x-y) ont la même parité quand x et y sont impairs
- x est pair et y est impair: Ils s'écrivent donc sous la forme x = 2 x a et y = 2 x b + 1
x + y = 2 x a + 2 x b + 1 = 2 x (a + b) + 1 donc x+y est impair
x - y = 2 x a - 2 x b - 1 = 2 x (a - b) - 1 donc x-y est impair
Donc (x+y) et (x-y) ont la même parité quand x est pair et y est impair
- x est impair et y est pair: Ils s'écrivent donc sous la forme x = 2 x a + 1 et y = 2 x b
x + y = 2 x a + 1 + 2 x b = 2 x (a + b) + 1 donc x+y est impair
x - y = 2 x a + 1 - 2 x b = 2 x (a - b) + 1 donc x-y est impair
Donc (x+y) et (x-y) ont la même parité quand x est impair et y est pair
Donc (x+y) et (x-y) ont toujours la même parité
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