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Bonjour, pouvez vous m'aider svp .

On est face à 1000 portes toutes fermées. On effectue dans fordre les opérations suivantes:

1: On change d'état (une porte ouverte devient fermée et uno porte fermée devient ouverte) toutes les portes dont le numéro est un multiple de 1

Etape 2: On change d'état toutes les portes dont le numéro est un multiple de 2.

Etape 3: On change d'état toutes les portes dont le numéro est un multiple de 3.

Etapes suivantes: ainsi de suite jusqu'à l'étape 100

a) Ecrire la consigne de l'étape 4. Combien y aura-t-il d'étapes ?

b) A la fin du processus (après les 1000 étapes), préciser l'état de la porte (ouvert ou fermé) dont le numéro est 1, puis 2 puis 3, puis 4 puis 5, puis 6.(expliquer uniquement pour le n°6)

c) Ecrire les diviseurs de 30, puis en déduire l'état de la porte 30 à la fin du processus.

Facultatif

d) Ecrire les diviseurs de 294, puis en déduire l'état de la porte 294 à la fin du processus.

A la fin du processus, un trésor est caché derrière la vingt-troisième porte ouverte. Quel est le numéro de cette porte ? Expliquer

Merci

Bonjour Pouvez Vous Maider Svp On Est Face À 1000 Portes Toutes Fermées On Effectue Dans Fordre Les Opérations Suivantes 1 On Change Détat Une Porte Ouverte Dev class=

Sagot :

a) Etape 4 : On change d'état toutes les portes dont le numéro est un multiple de 4.

Il y a 1000 étapes, comme l'étape 1 correspond au multiple de 1, on aura 1000 étapes (jusqu'au multiple 1000).


b) Pour connaître l'état d'une porte, il faut regarder le nombre de diviseurs qu'elle a.

Par exemple, pour le numéro 6, le nombre 6 a 4 diviseurs (1 2 3 et 6).

Donc 6 va changer d'état 4 fois.

Au début, 6 est fermée.

Etape 1 : 6 a 1 comme diviseur donc la porte n°6 change d'état et devient OUVERTE.

Etape 2 : 6 a 2 comme diviseur donc la porte n°6 change d'état et devient FERMEE.

Etape 3 : 6 a 3 comme diviseur donc la porte n°6 change d'état et devient OUVERTE.

Etape 6 : 6 a 6 comme diviseur donc la porte n°6 change d'état et devient FERMEE.

[On n'indique que les étapes dont le nombre 6 est le multiple].

Au bout de 4 étapes, la porte n°6 est fermée.


{On peut en déduire qu'une porte ayant un nombre de diviseurs impairs deviendra à la dernière étape OUVERTE, car on passera d'une étape 0 fermée à une étape finale ouverte ; idem pour une porte ayant un nombre de diviseurs pairs qui sera fermée à l'étape finale, elle restera dans le même état à l'étape initiale qu'à l'étape finale}.


c) 30 : 1 , 2 , 3 , 5 , 6 , 10 , 15 , 30

30 possède 8 diviseurs, 8 est pair donc la porte n°30 sera fermée à l'étape finale.

E0 (initiale) : Fermée ; E1 : Ouverte ; E2 : Fermée ; E3 : Ouverte ; E5 : Fermée ; E6 : Ouverte ; E10 : Fermée ; E15 : Ouverte ; E30 : Fermée.


d) 294 : 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42, 49, 98, 147, 294.

294 possède 12 diviseurs donc la porte n°294 sera fermée à l'étape finale.


e) On considère que derrière la 23 ème porte, il y a un trésor caché, ce qui signifie que l'on doit trouver les 23 premières portes qui sont ouvertes, c'est-à-dire, qui ont un nombre de diviseurs impairs.

Tous les nombres premiers (2 3 5 7 11 13...) n'ont par définition que 2 diviseurs, 1 et lui-même donc ayant un nombre pair de diviseurs, ils garderont leur porte fermée, on sait d'avance qu'ils ne feront pas partie des portes ouvertes à l'étape finale.


1 possède 1 diviseur

4 possède 3 diviseurs

9 possède 3 diviseurs

16 possède 5 diviseurs

25 possède 3 diviseurs

Pas besoin d'aller plus loin, on remarque tout de suite que les nombres qui possèdent un nombre de diviseurs impairs sont des carrés parfaits (un carré parfait est le carré d'un nombre entier).

1 est le carré de 1 ; 4 le carré de 2 ; 9 le carré de 3...

Le 23 ème carré parfait est 23² qui donne 529 (529 possède 3 diviseurs).

Le trésor est donc caché derrière la porte n°529 qui est la 23 ème porte ouverte à l'étape finale.

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