U0 = 6 et pour tout entier naturel n; Un+1 = 1/3)Un - 2
1) préciser les 5 premiers termes de la suite (Un)
U1 = 1/3)U0 - 2 = 2 - 2 = 0
U2 = 1/3)U1 - 2 = 0 - 2 = - 2
U3 = 1/3)U2 - 2 = - 2/3) - 2 = - 8/3
U4 = 1/3)U3 - 2 = - 8/9) - 2 = - 26/9
U5 = 1/3)U4 - 2 = - 26/27 - 2 = - 80/27
En déduire que (Un) n'est ni arithmétique ni géométrique
U1 - U0 = 0 - 6 = - 6
U2 - U1 = - 2
U3 - U2 = - 8/3 - 2 = - 14/3
U4 - U3 = - 26/9 + 8/3 = - 2/9
U5 - U4 = - 80/27 + 26/9 = - 2/27
⇒ U1 - U0 ≠ U2 - U1 ≠ U3 - U2 ≠ U4 - U3 ≠ U5 - U4 donc la suite (Un) n'est pas arithmétique
U1/U0 = 0
U2/U1 = n'est pas définie car il faut que Un+1/Un avec Un ≠ 0
donc la suite n'est pas géométrique
2) on pose Vn = Un + 3 Montrer que (Vn) est géométrique
Vn+1/Vn = (Un+1 +3)/(Un + 3)
= (1/3) Un - 2 + 3)/(Un + 3)
= (1/3) Un + 1)/(Un + 3)
= (Un + 3)/3/(Un + 3)
= 1/3
La suite (Vn) est une suite géométrique de raison q = 1/3
3) donner l'expression de Vn en fonction de n puis celle de Un en fonction de n
puisque (Vn) est une suite géométrique donc elle peut s'écrire sous la forme suivante: Vn = V0 x qⁿ = 9 x (1/3)ⁿ
Vn = 9 x 1/3ⁿ ⇒ Vn = 1/3ⁿ⁻²
Vn = Un + 3 ⇒ Un = Vn - 3 = 9/3ⁿ - 3 = (1 - 3ⁿ⁻¹)/3ⁿ⁻²
Un = (1 - 3ⁿ⁻¹)/3ⁿ⁻²
vous faite l'ex4 avec la même démarche que celle de l'ex3
