Bonjour,
Ex 1
Restes de la division de 4ⁿ par 9 :
4⁰ ≡ 1 (9)
4¹ ≡ 4 (9)
4² ≡ 7 (9)
4³ ≡ 1 (9)
4⁴ ≡ 4 (9)
etc...
Généralisation :
SI n = 0 + 3a, a ∈ N ⇒ 4ⁿ = 4⁰⁺³ᵃ = 4³ᵃ = (4³)ᵃ
⇒ 4ⁿ ≡ (64)ᵃ ≡ 1ᵃ ≡ 1 (9)
Si n = 1 + 3a, a ∈ N ⇒ 4ⁿ = 4¹⁺³ᵃ = 4 x 4³ᵃ = 4 x (4³)ᵃ
⇒ 4ⁿ ≡ 4 (9)
Si n = 2 + 3a, a ∈ N ⇒ 4ⁿ = 4²⁺³ᵃ = 4² x 4³ᵃ = 4² x (4³)ᵃ
⇒ 4ⁿ ≡ 16 ≡ 7 (9)
On en déduit :
Si n = 3a, 4ⁿ - 1 - 3n ≡ 1 - 1 - 9a ≡ 0 (9)
Si n = 3a + 1, 4ⁿ - 1 - 3n ≡ 4 - 1 - 3(3a + 1) ≡ -9a ≡ 0 (9)
Si n = 3a + 2, 4ⁿ - 1 - 3n ≡ 7 - 1 - 3(3a + 2) ≡ -9a ≡ 0 (9)
Ex 2
n pair ⇒ n = 2a, a ∈ N
⇒ 2ⁿ - 1 = 2²ᵃ - 1 = (2²)ᵃ - 1
2² ≡ 1 (3) ⇒ (2²)ᵃ ≡ 1 (3) ⇒ (2²)ᵃ - 1 ≡ 0 (3)
On en déduit :
2²ᵃ ≡ 1 (3) pour tout a ∈ N
⇒ pour tout n ∈ N, 2²^(n+1) + 2²^(n) + 1 ≡ 1 + 1 + 1 ≡ 0 (3)
Ex 3
3² + 2 = 11, 33² + 22 = 1 111, 333² + 222 = 111 111, et 3333² + 2222 = 11 111 111
⇒ on peut conjecturer : 333...3² + 222..2 = 111...1 avec 2n fois 1
je reviens....
