Exercice 43
n³ + 4n = 240 équivaut à n (n² + 4) = 240
- cas où n est impair. Il peut s'écrire sous la forme n = 2k + 1 avec k entier
n² + 4 = (2k+1)² + 4 = 4k² + 4k + 1 + 4 = 4k² + 4k + 5 = 4 (k² +k + 1) + 1
4 (k² + 4k + 1) est pair parce que c'est un multiple de 4
Donc si n est impair, alors n² + 4 est impair
Or le produit de deux nombres impairs est impairs, donc n (n² + 4) est impair si n est impair
donc n³ + 4n est impair si n est impair
Comme 240 est pair, il n'existe pas d'entier impair qui soit solution de n³ + 4n = 240
- cas où n est pair. n peut s'écrire sous la forme n = 2 k avec k entier
n (n² + 4) = 240
2k ((2k)² + 4) = 240
2k (4k²+ 4) = 240
2k x 4 x (k² + 1) = 240
k (k² + 1) = 240/8
k (k² + 1) = 30
On décompose 30 en produit de facteurs premiers 30 = 2 x 3 x 5
⇒ Si k est impair, alors k² est impair donc k² + 1 est pair
Les possibilités pour k impair sont les diviseurs impairs de 30 soit 1, 3, 5 et 15
- Si k = 1 alors k² + 1 = 2. Comme 1 x 2 = 2 , k = 1 n'est pas une solution valide
- Si k = 3 alors k² + 1 = 10. Comme 3 x 10 = 30, k = 3 est une solution valide
- Si k = 5 alors k² + 1 = 26. Comme 5 x 26 = 130, k = 5 n'est pas une solution valide
- Si k = 15 alors k² + 1 = 15² +1 = 226/ Comme 15 x 226 = 3390, k = 15 n'est pas une solution valide
Il n'y a qu'une seule solution valide pour k impair, k = 3, soit n = 6
⇒ Si k est pair, alors k² est pair donc k² + 1 est impair
Les possibilités pour k²+1 impairs sont les diviseurs impairs de 30 soit 1, 3, 5 et 15
- Si k² + 1 = 1, alors k² = 0 d'où k = 0. Comme 0 x (0² + 1) = 0, k = 0 n'est pas une solution valide
- Si k² + 1 = 3, alors k² = 2 d'où k = √2. Ce n'est pas une solution valide parce que √2 n'est pas un entier
- Si k² + 1 = 5, alors k² = 4 d'où k = 2. Comme 2 x (2² + 1) = 10, k = 2 n'est pas une solution valide
- Si k² + 1 = 15, alors k² = 14, d'où k = √14. Ce n'est pas une solution valide parce que √14 n'est pas un entier
Il n'y a donc qu'un seul entier n vérifiant n³ + 4 n = 240, c'est n = 6
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Exercice 44
On cherche des nombres de la forme
n = k x 43 + 40 avec k entier naturel, tel que n ≥ 0 et n ≤ 2012
k x 43 + 40 ≤ 2012
k x 43 ≤ 1972
k ≤ 1972/43
k ≤ 45.86
k ≤ 45 car k est un entier naturel
0 ≤ k x 43 + 40
-40 ≤ k x 43
-40/43 ≤ k
0 ≤ k car k est un entier naturel
k est donc un entier naturel vérifiant 0 ≤ k ≤ 45
Il y a donc 46 entiers n
- le plus petit est n = 40 (k = 0)
- le plus grand est n = 1975 (k = 0)
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Exercice 45
a = 7 b + 8
7b est un multiple de b
donc le reste de la division euclidienne de a par b est le même que celui de la division de 8 par b
