Bonjour,
1) ci-joint
Conjecture : Aucune évidence !
2) a) ci-joint
b) On peut conjecturer : Vn = 16 + 8n
3) a) Un+1 - Un
= [(n + 3)Un + 6]/(n + 1) - Un
= [(n + 3 - n - 1)Un + 6]/(n + 1)
= (2Un + 6)/(n + 1)
Un+1 - Un = Vn ⇒ (2Un + 6)/(n + 1) = 16 + 8n
⇔ 2Un + 6 = (16 + 8n)(n + 1)
⇔ Un = (n + 1)(4n + 8) - 3
⇔ Un = 4n² + 12n + 5
⇔ Un = 4(n + 1)(n + 2) - 3 (ce qu'on ne risquait pas trop de voir à la question 1...)
b) U₀ = 5 et 4x0² + 12x0 + 5 = 5 ⇒ Propriété validée au rang n = 0
On suppose qu'au rang n, Un = 4(n + 1)(n + 2) - 3
Au rang n+1 : Un+1 = [(n + 3)Un + 6]/(n + 1)
= 6/(n + 1) + [(n + 3)/(n + 1)] x [4(n + 1)(n + 2) - 3)/(n + 1) par hypothèse de récurrence
= ... je te laisse le plaisir de finir
on doit bien sur parvenir à : 4(n + 2)(n + 3) - 3
bonne chance..
