Bonsoir !
Il faut procéder par la méthode de récurrence pour démontrer la proposition de la question 2.b. : initialisation, hérédité et validation. Les premières questions devraient être simples, tu as dû les trouver, j'imagine.
1. On calcule les factorielles selon la définition qui t'est donnée :
1! = 1
2! = 1 x 2 = 2
3! = 1 x 2 x 3 = 6
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
2.a. On calcule les sommes :
S1 = 1 x 1! = 1
S2 = 1 x 1! + 2 x 2! = 5
S3 = 1 x 1! + 2 x 2! + 3 x 3! = 23
2.b. On démontre par récurrence en suivant les étapes :
Pour des soucis de simplification lors de l'écriture, j'ai noté S(n) et S(n+1) au lieu de noter n et n+1 en indice, mais tu dois l'écrire plutôt avec l'indice.
- Initialisation : Nous cherchons à démontrer que la proposition P1 est vraie, c'est-à-dire que S1 = (1+1)! - 1 = 1. D'après la question 2.a., c'est bien égal à 1.
- Hérédité : On suppose Pn vraie, c'est-à-dire S(n) = (n+1)! - 1 est vraie. Cherchons à démontrer que P(n+1) est vraie aussi, compte tenu de cette hypothèse de récurrence (H.R.). On veut donc montrer que S(n+1) = (n+2)! - 1.
S(n+1) = 1 x 1! + 2 x 2! + 3 x 3! + ....+ n x n! + (n+1) x (n+1)!
S(n+1) = S(n) + (n+1) x (n+1)!
Or, on a supposé que S(n) = (n+1)! - 1 (d'après l'H.R.).
Ainsi on remplace S(n) dans la relation précédente :
S(n+1) = (n+1)! - 1 + (n+1) x (n+1)!
S(n+1) = (n+1)! x [1 + (n + 1)] - 1 (on factorise par (n+1)! )
S(n+1) = (n+1)!(n+2) - 1
Or, (n+1)!(n+2) = (n+2)! (d'après la définition de la factorielle)
Donc : S(n+1) = (n+2)! - 1 : On a donc montré que P(n+1) est vraie.
- Conclusion / validation : Comme P(n+1) est vraie, alors P(n) est vraie.
Fin de la démonstration par récurrence.
J'espère avoir pu t'aider ! Bonne soirée et bon week-end !
