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Sagot :
f(x) = x²/(x² + 2 x - 3) cette fonction n'a de sens que si x² + 2 x - 3 ≠ 0 ⇔(x+3)(x-1) ≠0
⇒ x ≠ - 3 et x ≠ 1 donc x ∈ R - {- 3 ; 1}
D une droite d'équation y = m x avec m ∈ R*
L'intersection de D avec Cf ⇔ f(x) = m x
x²/(x² + 2 x - 3) = m x ⇔ x² = m x(x² + 2 x - 3)
⇔ x² = m x³ + 2 m x² - 3m x
⇔ m x³ + 2m x² - x² - 3m x = 0
⇔ m x³ + (2 m - 1) x² - 3m x = 0
⇔ x(m x² + (2 m - 1) x - 3 m) = 0 ⇒ x = 0 ou m x² + (2 m - 1) x - 3 m = 0
Δ = (2 m - 1)² + 12 m² = 4 m² - 4 m + 1 + 12 m² = 16 m² - 4 m + 1 =
Si Δ > 0 ⇔ 16 m² - 4 m + 1 > 0 ⇒ la droite coupe la courbe Cf en deux points d'abscisse x1 et x2
δ = 16 - 4 *16 < 0 pas de racines en m, puisque l'équation en m a un signe a > 0 donc Δ > 0 quel que soit m
Donc la droite D coupe Cf en deux points d'abscisses x1 et x2
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