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3) Un+1 = 3Un/(1 + 2Un)
Un+1 = (3Un + 3/2 -3/2)/(1+ 2 Un)
Un+1 = (3/2 + 3Un)/(1+ 2 Un) - 1.5/(1+ 2 Un)
Un+1 = 1.5 - 1.5/(1+2Un)
On prend pour hypothèse 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 1
d'où 0 ≤ 2Un ≤ 2Un+1 ≤ 2
d'où 1 ≤ (1 + 2Un) ≤ (1 + 2Un+1) ≤ 3
d'où 1 ≥ 1/( 1 + 2Un) ≥ 1/(1+ 2Un+1) ≥ 1/3
d'où -1.5 ≤ -1.5/(1+ 2 Un) ≤ -1.5/(1 + 2Un+1) ≤ -1.5/3
d'où 1.5 - 1.5 ≤ 1.5 - 1.5/(1+ 2 Un) ≤ 1.5 - 1.5/(1 + 2Un+1) ≤ 1.5 - 0.5
d'où 0 ≤ Un+1 ≤ Un+2 ≤ 1
Il y a donc héritage de la propriété au rang suivant
Comme la condition de départ est vérifiée (0 ≤ U0 ≤ U1 ≤ 1), on a prouvé par récurrence que c'est valable pour tout N
NB: une autre technique était de montrer que f(x) est strictement croissante sur [0; 1], ce qui permet d'écrire que 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 0 ⇒ f(0) ≤ f(Un) ≤ f(Un+1) ≤ f(1) soit 0 ≤ Un+1 ≤ Un+2 ≤ 1
4) Un est une suite monotone, en l'occurrence croissante (Un ≤ Un+1) qui est majorée par 1, donc elle est convergente
Pour tout N, Un ∈ [0; 1], comme f est croissante on a l ∈ [f(0); f(1)], soit l ∈ [0; 1]
J'avoue que je suis un peu rouillé pour décider si le fait que f est strictement croissante sur [0; 1] suffit à conclure que la limite est f(1) soit 1
Je saispar contre que généralement on propose aux élèves de s'intéresser à une autre suite Vn = Un/(1 - Un) pour montrer qu'il s'agit d'une suite géométrique de raison 3, puis d'en déduire une expression de Un en fonction de n Un = Vn/(Vn + 1) = 3^n/(1 + 3^n) = 1/(1 + 1/3^n) pour pouvoir dire que la limite de Un est 1 quand n tend vers l'infini (lim 3^n = +∞, d'où lim 1/3^n = 0)