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Maromaro
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Salut à tous. Pouvez-vous m'aider à résoudre ces exercices.
1)Soit x ∈ R+
Montrer en utilisant le raisonnement par équivalence:
a) (√x/(x²-x+1)) ≤4/3√x
b)(√2x+2)-√x=1 ⇔ x=1
c)(∀x∈R+) 0≤ x/(x²+x+1) ≤ 1/3
2)Soit x et y deux nombres réels positifs
Montrer avec les dépendances successifs que
( x+y+2= 2√x + 2√y) ⇒ x=y=1

Sagot :

Croisierfamily

1a) élevons au carré : x/(x²-x+1) ≤ 16/(9x) --> 9x² ≤ 16x² - 16x + 16

                                                                  --> 7x² - 16x + 16 ≥ 0 .

Comme le discriminant est négatif, ce trinôme est toujours du même signe

                                                                          ( ici positif ) .

Donc l' inéquation proposée dans le texte est vérifiée !

1b) √(2x+2) = 1+√x donne 2x+2 = 1+2√x+x --> x -2√x + 1 = 0 --> √x = 1 --> x = 1 .

1c) x étant strictement positif, il reste à vérifier x/(x²+x+1) ≤ 1/3 --> 3x ≤ x²+x+1

                                              --> x² - 2x + 1 ≥ 0 --> (x-1)² ≥ 0 --> toujours vérifié !

                         Donc l' inéquation proposée dans le texte est vérifiée !

2°) comme cette expression est symétrique, on peut remplacer "x" et "y" par "z" :

                2z + 2 = 4√z --> z + 1 = 2√z --> z - 2√z + 1 = 0 --> ( √z - 1 )² = 0 --> √z = 1

                                                        --> z = 1 --> x = y = 1 .

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