Bonjour;
1)
Tout d'abord , on remarque que les triangles ajoutés sont des triangles
rectangles isocèles . Notons Bn la longueur des côtés de même mesure
du triangle ajouté à la nième étape .
Pour la 1ère étape , on a : B1 = 6 ; U1 = 1/2 x 6² = 18 et A1 = U1 = 18 .
Pour la 2ème étape , on a : B2 = 6/2 = 3 ; U2 = 1/2 x 3² = 9/2 et A2 = 18 + 9/2 = 45/2 .
2)
On a : Un = 1/2 (Bn)² et U(n + 1) = 1/2(B(n + 1))² avec B(n + 1) = (Bn)/2 ;
donc : U(n + 1) = 1/2((Bn)/2)² = 1/2 (B(n))² x 1/4 = 1/4 Un .
3)
U(n + 1) = 1/4 Un , donc la suite (Un) est suite géométrique de raison : 1/4
et de premier terme : U1 = 18 .
An est la somme des aires des n triangles , donc la somme des n premiers
termes de la suite géométrique .
An = U1 x (1 - (1/4)^n)/(1 - 1/4) = 18 x (1 - (1/4)^n)/(3/4) = 24(1 - (1/4)^n) ;
donc : lim(n-->+∞) An = 24 .
