Bonjour,
1) f(x) = x(20 - x)/10
a) f'(x) = (20 - 2x)/10
f'(x) = 0 ⇒ x = 10
x 0 10 20
f'(x) + 0 -
f(x) croiss. décroiss.
f(0) = 0 f(20) = 0 et f(10) = 10
b) ⇒ pour tout x ∈ [0;20], f(x) ∈ [0;10]
c) ci-joint
2) U₀ = 1 U₁ = 19/10 = 1,9
⇒ 0 ≤ U₀ ≤ U₁ ≤ 10 propriété validée eu rang n = 0
On suppose qu'au rang n : 0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ 10
Au rang (n + 1) :
Un+2 = f(Un+1)
et Un+1 ∈ [0;10] ⊂ [0;20]
donc, d'après 1)b) : Un+2 ∈ [0;10] ⇔ 0 ≤ Un+2 ≤ 10 (1)
D'autre part : Un+2 = Un+1(20 - Un+1)/10
0 ≤ Un+1 ≤ 10 ⇒ 0 ≥ - Un+1 ≥ -10 ⇒ 20 ≥ 20 - Un+1 ≥ 10
⇒ 2 ≥ (20 - Un+1)/10 ≥ 1
⇒ 2Un+1 ≥ Un+1(20 - Un+1)/10 ≥ Un+1
⇒ Un+2 ≥ Un+1 (2)
donc d'après l'hypothèse de récurrence et (1) et (2) :
0 ≤ Un ≤ Un+1 ≤ Un+2 ≤ 10
La propriété est donc héréditaire.
3) On en déduit :
0 ≤ lim Un ≤ lim Un+1 ≤ 10
Or lim Un = lim Un+1
⇒ lim Un = 10
