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z est un nombre complexe non nul
z + 1/ z = 1
(z² + 1)/z = 1
z² + 1 = z
z est un nombre complexe, il peut s'écrire sous la forme z = a + b i avec a ∈ R et b ∈R
d'où
(a + b i)² + 1 = a + b i
a² +2ab i -b² + 1 = a + b i
(a² -b² +1) + 2ab i = a + b i
Les parties réelles sont identiques et les parties imaginaires sont identiques, d'où (a² - b² + 1) = a et 2 ab = b
On a deux cas à considérer:
On a 2a = 1 d'où a = 1/2 donc Re(z) = 1/2
d'où 1/4 -b² + 1 = 1/2
b² = 1/4 +1 - 1/2
b² = 3/4
b = √3/2 ou b = -√3/2
on a a² + 1 = a d'où a² - a + 1 = 0
Le discriminant de cette équation du second degré est Δ = (-1)² - 4 x 1 x 1 = -3
Le discriminant est négatif donc il n'y a pas de solution dans R
b ne peut donc pas être nul
Donc z différent de 0 et z+1/z=1 → Re (z)= 1/2