1)Commencer par démontrer
que le triangle ACD est triangle en C :
- son hypoténuse [AD] est le diamètre du cercle circonscrit
- le milieu de l'hypothèse est le centre O du cercle circonscrit
D'où le triangle ACD est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre [AD] l'un
de ses côtés [AD] alors ce triangle est rectangle en C et en conséquence DC est
perpendiculaire à AC
BH est perpendiculaire à AC par construction
Les droites (DC) et (BH) étant perpendiculaire à la même droite(CA) alors elles
sont parallèles : DC // BH.
Commencer par démontrer que le triangle ABD est triangle en B :
- son hypoténuse [AD] est le diamètre du cercle circonscrit
- le milieu de l'hypothèse est le centre O du cercle circonscrit
D'où le triangle ABD est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre [AD] l'un
de ses côtés [AD] alors ce triangle est rectangle en B et en conséquence BD est
perpendiculaire à AB
CH est perpendiculaire à AB par construction
Les droites (DB) et (CH) étant perpendiculaires à la même droite(AB) alors
elles sont parallèles : BD // CH.
2) Comme BD // CH et BH // DC alors on peut en déduire que BDCH est un
quadrilatère, un parallélogramme.
3) Soit I milieu de BC. Justifier que I est le milieu de [DH]
effectivement puisque les droites CB et DH sont les diagonales du
parallélogramme BDCH qui se coupent en
leur milieu I.
4) Une droite issue du sommet A au milieu du côté opposé BC est une médiane du
triangle ABC.
5) Une droite issue du sommet A au milieu du côté opposé HD est une médiane du
triangle AHD.
6) Les médianes d'un triangle sont
concourantes. Leur point de concours est le centre de gravité du triangle.
Comme le triangle ABC et AHD ayant une médiatrice commune alors les deux
triangles ont le même centre de gravité, G.
7) OH est la droite issue du sommet H du triangle AHD jusqu'au milieu du côté
opposé AD (O étant le centre du cercle circonscrit et milieu du diamètre AD).
8) HO médiane de AHD passe par G d'où l'alignement de G,H et O c'est ce qu'on
appelle la droite d'Euler.
