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Diaelhadj26
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Bonjour s'il vous plait aidez moi sur cet exo sur les ensembles et applications
on considère les ensembles A ,B ,C et D et les applications f :A-->B
g : B-->C et h : C-->D
1-) montrer que :
a-) si gof est injective alors f est injective
b-) si gof est surjective alors f est surjective
2-) montrer que si gof et hof sont bijectives alors f,g et h sont bijectives
Merci d'avance

Sagot :

MichaelS

Bonjour,

1)

Soit x, x' dans A :

f(x) = f(x') ⇒ g(f(x)) = g(f(x'))

              ⇒ g o f(x) = g o f(x')

             ⇒ x = x' car g o f est injective


2)

g o f est surjective ⇒ il existe z dans C et x dans A tel que g o f(x) = z

                              ⇒ il existe z dans C et x dans A tel que g(f(x)) = z

                              ⇒ il existe z dans C et y dans B tel que g(y) = z

                              ⇒ f est surjective


3) erreur d'énoncé je suppose gof est hog sont bijective

g o f est bijective donc elle est injective et bijective, d'après les questions précédentes, f est injective et surjective donc bijective

h o g est bijective elle est injective et bijective, d'après les questions précédentes, g est injective et surjective donc bijective

h = (h o f) o f⁻¹ est bijective en tant que composée d'applications bijective

                               


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