(a+ib)³ + 4 (a-ib) = 0 donne a³ - 3ab² + 3a²bi - ib³ + 4a - 4ib = 0
donc a(a²-3b²+4) + ib (3a²-b²-4) = 0
d' où a = 0 --> b = 0 --> Z = 0
--> -b² - 4 = 0 --> b² = -4 impossible puisque b est un réél !
OU a²-3b²+4=0 --> a²=3b²-4 --> 3a²=9b²-12 --> 3a²-b²-4=9b²-12-b²-4=0
--> 8b²=16 --> b = -√2 OU b = +√2
--> a² = 2 --> a = -√2 OU a = +√2
OU b = 0 --> a = 0 --> on retrouve Z = 0 .
OU 3a²-b²-4 = 0 --> b²=3a²-4 --> 3b²=9a²-12 --> a²-3b²+4=a²-9a²+12+4=0
--> 8a²=16 --> a = - √2 OU a = +√2
--> b = -√2 OU b = +√2
conclusion : les cinq solutions sont :
Zo = 0 ; Z1 = √2 + i√2 ; Z2 = √2 - i√2 ; Z3 = -√2 + i√2 ; Z4 = -√2 -i√2 .
1°) le module d' une solution non nulle = √(√2² + √2²) = √(2+2) = √4 = 2 .
2°) Z1 = 2e(iπ/4) ; Z2 = 2e(-iπ/4) ; Z3 = 2e(3iπ/4) ; et Z4 = 2e(-3iπ/4) .
3°) déjà écrit en préliminaire : Z1 = √2 + i√2 par exemple !
4°) Z³ + 4 Z* = 0 --> Z² Z² + 4 Z Z* = 0 --> Z² Z² + 4x4 = 0 --> Z² Z² + 16 = 0
--> Z² Z³ + 16 Z = 0 .
remarque :
Z* désigne le conjugué de Z car la barre n' est pas disponible sur mon clavier !
