Bonsoir
Question 1
g(x) ≤ h(x) lorsque pour une valeur de x, sur l'axe des abscisses, la courbe représentant la fonction g est située plus bas que la droite représentant la fonction h.
Sur le graphique la droite représentant h coupe la courbe représentant g
lorsque x = (-1) (le point d'intersection a pour coordonnées (-1 ; -4)),
et lorsque x= 5 (le point d'intersection a alors pour coordonnées (5 ; 2)).
Lorsque x ≥ 5, la droite est située plus haut que la courbe car h(x) ≥ g(x).
(Par exemple, lorsque x=9, h(9)=6 et g(9) = 1 : on a bien h(9) > g(9).)
Lorsque x ≤ (-1), la droite est située plus bas que la courbe car g(x) ≤ h(x).
Une fois que x=(-1), en augmentant x vers x = 1 sur l'axe des abscisses, la courbe chute. Elle continue de chuter comme cela indéfiniment lorsque l'on s'approche de x = 1.
En effet, la fonction g n'est pas définie lorsque x = 1 car alors x-1 = 0 et donc [tex]\frac{8}{x-1}[/tex] ne peut pas être calculé.
(La droite verticale d'équation x = 1 est une asymptote de la courbe car la courbe s'en approche toujours mais sans jamais l'atteindre. Voir le graphique ci-joint. C'est une information pour t'aider à comprendre mais ce n'est pas à noter dans ta réponse.)
Donc lorsque x est entre (-1) et 1, la droite est située plus haut que la courbe.
Par contre lorsque x est entre 1 et 5, la droite est en dessous la courbe.
En conclusion g(x) ≤ h(x) ⇔ x ∈ [-1 ; 1 [ U [ 5 ; +∞ [
(Le crochet [ est ouvert après le 1 car g n'est pas définie pour x = 1.)
Question 2a
[tex]g(x) \leq h(x) \iff \frac{8}{x-1} \leq x-3 \iff \frac{8}{x-1}-x+3\leq 0[/tex]
On met ensuite les termes à gauche au même dénominateur :
[tex]\frac{8}{x-1}- \frac{x(x-1)}{x-1} +\frac{3(x-1)}{x-1}\leq 0[/tex]
Donc
[tex]\frac{8-x(x-1)+3(x-1)}{x-1}\leq 0 \iff \frac{8-x^2+x+3x-3}{x-1}\leq 0 \iff \frac{-x^2+4x+5}{x-1}\leq 0[/tex]
En conclusion [tex]g(x)\leq f(x) \iff \frac{-x^2+4x+5}{x-1}\leq 0[/tex]
Question 2b
Pour résoudre cette question, il faut chercher le signe de [tex]\frac{-x^2+4x+5}{x-1}[/tex]
En effet, nous venons de démontrer que lorsque [tex]\frac{-x^2+4x+5}{x-1}[/tex] était négatif alors g(x) ≤ h(x).
Pour cela nous allons étudier le signe du polynôme de second degrés [tex]-x^2+4x+5[/tex] puis de [tex]x-1[/tex] et faire un tableau de signe.
Signe de [tex]-x^2+4x+5[/tex]:
Le déterminant est Δ = b²- 4ac = 4² - 4×(-1)×5 = 36
Les racines du polynôme sont donc :
[tex]x_1 = \frac{-b+\sqrt{\Delta}} {2a} =\frac{-4+6} {-2}=-1[/tex]
et [tex]x_2 = \frac{-b-\sqrt{\Delta}} {2a} =\frac{-4-6} {-2}=5[/tex]
Or un polynôme est du signe du coefficient a de x² sauf entre ses racines.
Ici a = -1 et est donc négatif.
Donc [tex]Signe de [tex]-x^2+4x+5[/tex] est positif lorsque [tex]x \in [-1 ; 5][/tex].
Il est négatif dans les autres cas.
Signe de x-1 : [tex]x-1\geq0 \iff x\geq 1[/tex]
De plus lorsque [tex]x=1[/tex], la fonction [tex]\frac{1}{x-1}[/tex] n'est pas définie.
Nous obtenons donc le tableau de signe suivant :
x__________|-∞_______(-1)___________1___________5_____+∞|
-x²+4x+5____|___-______0______+____||_____+____0____-____|
x-1________|____-______|______-_____||_____+____|_____+___|
(-x²+4x+5)/(x-1)|___+______|______-_____||_____+____|_____-___|
Donc [tex]\frac{-x^2+4x+5}{x-1}\leq 0 \iff x\in [-1 ; 1[ \cup [5;+\infty[[/tex]
Par conséquent, d'après l'équivalence démontrée à la question 2a,
[tex]g(x)}\leq h(x) \iff x\in [-1 ; 1[ \cup [5;+\infty[[/tex]
Nous retrouvons les résultats de la question 1.
Bon courage
N'hésite pas si tu as des questions.
