Bonjour,
1) z = x + iy
z' = (z - 2 + i)/(z + i)
= [x - 2 + (y + 1)i]/[x + (y + 1)i]
= [x - 2 + (y + 1)i][x - (y + 1)i]/[x + (y + 1)i][x - (y + 1)i]
= {x(x - 2) + (y + 1)² + [-(x - 2)(y + 1) + x(y + 1)]i]/[x² + (y + 1)²]
= [x² - 2x + y² + 2y + 1 + (-xy - x + 2y .......)i]/[x² + (y + 1)²]
⇒ Re(z') = (x² - 2x + y² + 2y + 1)/[x² + (y + 1)²]
2) z' imaginaire pur ⇒ Re(z') = 0
⇒ x² - 2x + y² + 2y + 1 = 0
⇔ (x - 1)² - 1 + (y + 1)² - 1 + 1 = 0
⇔ (x - 1)² + (y + 1)² = 1²
⇒ ξ est le cercle de centre O(1:-1) et de rayon 1
