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Dans un repère orthonormé (O;I,J), on donne les points A(-3;-1), B(-2;2) et C(3;-3).


1. Démontrez que le triangle ABC est rectangle.


2. a)Construisez le cercle circonscrit à ce triangle et notez E son centre.

b) Calculez le rayon du cercle.


3.a)Placez sur la figure les points M(3;2) et N(5/2;5/2).

Ces points appartiennent-ils au cercle circonscrit ?

b)Démontrez que la droite (MN) est tangente au cercle circonscrit.


4.Le cercle circonscrit coupe l'axe des ordonnées en F et G.

a)Démontrez que les ordonnées y de ces points sont solutions de l'équation : (y + 1/2)^2 = 49/4


J'espère que quelqu'un pourra m'aider

Merci d'avance.

Sagot :

1) démontrer que le triangle ABC est rectangle

AB² = (- 2+3)²+(2+1)² = 1 + 9 = 10

AC² = (3+3)²+(-3+1)² = 36+4 = 40

BC² = (3+2)² + (- 3 - 2)² = 25 + 25 = 50

Selon la réciproque du théorème de Pythagore

AB²+AC² = 10 + 40 = 50

BC² = 50

⇒ L'égalité AB²+AC² = BC² est vérifiée ⇒ ABC est un triangle rectangle en A

2) a) E centre du cercle

E milieu de BC = [(3 - 2)/2 ; (- 3 +2)/2] = (1/2 ; - 1/2) les coordonnées de E

b) calculer le rayon du cercle

nous savons l'hypoténuse BC du triangle rectangle ABC  est le diamètre du cercle circonscrit

⇒ rayon du cercle = BC/2 = √50/2 = 5√2/2

l'équation du cercle est (x - 1/2)² + (y +1/2)² = 50/4 = 12.5

3) les points  M et N appatiennent au cercle s'ils vérifient l'équation du cercle

M(3 ; 2)⇒ (3 - 1/2)²+(2+1/2)² = 50/4

                   25/4 + 25/4  = 50/4

⇒ M ∈ au cercle

N(5/2 ; 5/2) ⇒ (5/2 - 1/2)²+(5/2+1/2)² = 50/4

                            16/4 + 36/4 = 52/4 ≠ 50/4

⇒ N ∉ au cercle

b) démontrer que la droite (MN) est tangente au cercle circonscrit

il suffit de montrer que EM ⊥ MN

⇔ les coefficients directeurs des deux droites est a x a' = - 1

EM : a = (2 + 1/2)/(3 - 1/2) = 5/2/5/2 =  1

MN : a' = (5/2 - 2)/(5/2 - 3) = 1/2/- 1/2 = - 1

Donc on a bien a x a' = - 1 ⇒ MN est tangente au cercle au point M

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