Question 1 :
x doit en théorie être inférieur à la moitié de la largeur de la feuille puisque il doit y avoir deux carrés de côté x sur une largeur.
Donc [tex]x \in [0 ; 8,75][/tex]
Question 2 :
Soit [tex]l[/tex] la largeur de la boite.
Puisqu'on enlève deux fois [tex]x[/tex] à 17,5 cm pour obtenir [tex]l[/tex] :
[tex]l = 17,5 - 2x[/tex]
Soit [tex]h[/tex] la hauteur de la boite, la hauteur correspond à la longueur [tex]x[/tex] du côté du carré.
Donc [tex]h=x[/tex]
Soit [tex]L[/tex] la longueur de la boîte.
Puisqu'on enlève deux fois [tex]x[/tex] à 28 cm pour obtenir [tex]L[/tex] :
[tex]L=28-2x[/tex]
Le volume est :
[tex]V(x) = L \times l\times h=(28-2x)(17,5-2x)x=(490-35x-56x+4x^2)x[/tex]
Donc [tex]V(x) = (4x^2-91x+490)x[/tex]
[tex]V(x)=4x^3-91x^2+490x[/tex]
Question 3 :
On remarque que les valeurs de [tex]x[/tex] données dans le tableau correspondent à l'intervalle donné dans notre réponse à la question 1, ce qui conforte donc cette réponse.
Le tableau figure en pièce jointe.
Question 4 :
Sur le tableau de la question précédente, le maximum de [tex]V(x)[/tex] semble être 760 cm³. Ce volume est atteint lorsque [tex]x=4[/tex] cm.
Question 5 :
[tex]V(3,5)=4\times 3,5^3-91\times 3,5^2+490\times 3,5 = 771,75[/tex]
Donc [tex]V(3,5)>V(4)[/tex]
Nous pouvons donc en déduire que la réponse à la question 4 ne correspond qu'au maximum des valeurs affichées dans le tableau et ne donne pas le maximum possible du volume de la boite, puisque, lorsque nous prenons [tex]x=3,5[/tex] cm, nous obtenons un volume de 771,75 cm³, qui est donc supérieur au maximum obtenu à la question 4.
Question 6 :
La copie de l'écran de la calculatrice figure ci-joint, ainsi que celle des réglages choisis pour la fenêtre graphique.
Pour choisir ces réglages, sur l'axe des abscisses, nous prenons le minimum de x égal à zéro et le maximum égal à 8,75 car cela correspond à l'intervalle donné à la réponse de la question 1 (ainsi qu'au tableau question 3). Le paramètre "scale" correspond à la graduation de l'axe,que nous avons choisi à 1. (Le paramètre "dot" s'est mis automatiquement.)
Pour l'axe des ordonnées y, nous avons choisi zéro pour minimum et 772 pour maximum, afin d'être au-dessus du maximum de V(x) que nous avons trouvé à la question 5.
Question 7 :
Avec la calculatrice, nous trouvons effectivement que le maximum du volume est 771,75 cm³, atteint pour une longueur de côté des carrés de 3,5 cm. (Affichage ci-joint de la calculatrice.)
Question 8 :
Donc, pour que le volume de la boite soit au maximum, il faut que :
- sa hauteur [tex]h[/tex] soit de 3,5 cm,
- sa largeur [tex]l[/tex] soit de [tex]17,5-2\times 3,5=10,5[/tex] cm
- sa longueur [tex]L[/tex] soit de [tex]28-2\times 3,5=21[/tex] cm
