Salut !
(1)
(a) Pour tout x >= 1, on aura 0 < x <= x+1. Comme la fonction inverse est strictement décroissante sur R+*, on a 1/x+1 < 1/x.
(b) Il manque une information... C'est quoi M et N ?
(2)
(a) On remplace n par n+1 :
[tex]u_{n+1} = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}[/tex]
(b)On met tout au même dénominateur.
[tex]u_{n+1} = \frac{(n+2)-(n+1)}{(n+1)(n+2)} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}\\u_n = \frac{n+1-n}{n(n+1)}[/tex]
(c)La suite (un) est à termes positifs et tu as un+1/un < 1 pour tout n, donc (un) est décroissante.
(3) (a)Il faut procéder par récurrence sur n. Pour n = 1 c'est acquis.
Si cela est vrai pour un n donné on a :
In+1 = In + u(n+1) = 1+1/(n+1)-1/(n+2) = 1-1/(n+2) d'où la récurrence.
(b) On a 1/(n+1) > 0 d'où le résultat.
(c) Il faut résoudre 1/(n+1) < 10^-4...
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
