Bonjour,
Le triangle ABC est isocèle en A
[BC] est sa base, H est le pied de la hauteur issue de A sur la base [BC]
j'appelle a les mesures des deux côtés égaux
a = AB = AC
j'appelle b la mesure de la base b= BC
j'appelle h la hauteur issue du sommet A sur la base correspondante [BC]
On sait que P = 16 ( P pour périmètre et A pour aire)
A= 1/4 ×b²
On peut exprimer l'aire du triangle ABC
A = (AH×BC)/2
A = (b×h)/2 = 1/4×b²
j'exprime l'égalité et je tire h en fonction de b
(b×h)/2 =× 1/4×b² je réduis au même dénominateur
2( b×h)/4 = 1/4×b² j'écris l'égalité des numérateurs
2×b×h = b²
h = b²/2b = 1/2×b
Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AHB
( on sait pour le triangle ABC isocèle en A que la hauteur issue de A est aussi médiane, médiatrice de la base, d'où AH = b/2)
On va chercher la valeur de a en fonction de b dans le triangle AHB
le théorème de Pythagore dans le triangle AHB rectangle en H s'écrit
AB² = AH² +BH²
a² = (b/2)² + ( b/2)²
a² = b²/4 + b²/4
a² = 2b²/4
a =√( 2b²/4)
a = b√2/2
On se sert maintenant du périmètre pour trouver la valeur numérique de b
P ( triangle ABC) = AB+AC+BC
P = a+a +b = 2a +b
16 = 2×b√2/2 +b j'ai remplacé a par la valeur trouvé en fonction de b )
16 = b√2 +b
16 = b ( 1+√2)
b = 16/ ( 1+√2)
on ne laisse pas un radical au dénominateur, je multiplie le numérateur et le dénominateur par (1-√2) de façon à rendre le dénominateur entier
b= 16 ( 1-√2)/ ( 1+√2)(1-√2)
b = 16(1-√2/(1-2)
b= 16(1-√2)/(-1) = -16 ( 1-√2) = 16 (-1+√2)
La base b = 16( √2-1)
remplaçons b par cette valeur numérique dans l'expression de a en fonction de b
a= b√2/2
a = 16(√2-1)×√2/2
a = 8 (2-√2)
Vérification
2a +b =? 16
Calculons
2a+b=
2×8×(2-√2) + 16(√2-1) = 16(2-√2)+ 16( √2-1)
=32-16√2+16√2-16 = 32-16 =16
Les dimensions du triangle ABC sont
AB =AC = 8(2-√2) et BC = 16( √2-1)
