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DEVOIR SUITES 1S

Bonjour, j'ai un peu de mal avec ce devoir pour la rentrée 

soit Un = 1/k² avec k allant de 1 à n (n≥1) 
1. calculer les quatres premiers termes de Un 
J'ai trouvé: U1=1 ; U2= 5/4 ; U3=49/36 et U4=205/144 

2. justifier que Un est strictement croissante 
je fais Un+1-Un =(Un+1)/(k+1)²-Un

et la je bloque :/

 

3.a. 
il faut prouver que pour k>(ou égale à 2 ) 1/k²<1/(k-1)-1/k 
pour cela j ai mis sur le même dénominateur : 
1/(k-1)-1/k=1/(k²-k) 
or, k²>k²-k 
donc 1/k²<1/(k²-k) 
3.b. En sommant les inégalités obtenues pour k variant de 2 à n, établir que Un<2-(1/n) 
je ne sais pas comment faire. 
3.c.La suite Un peut elle tendre vers + l'infinie ? On admet que la suite (Un) tend vers le réel l= pi ²/6 
d. donner une valeur décimale approchée par défaut à 10^-3 près de cette limite l. 
e. Ecrire un algorithme qui permet de déterminer à partir de quel entier n, on a Un> 1.64 
f. Déterminer cette valeur à l'aide de la calculatrice.

 

 

 

 

Aider moi s'il vous plait !!! 

 

Sagot :

Bonsoir,

[tex]u_n=\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{k^2}[/tex]

1) [tex]u_1=1\ \ ;\ \ u_2=\dfrac{5}{4}\ \ ;\ \ u_3=\dfrac{49}{36}\ \ ;\ \ u_4=\dfrac{205}{144}[/tex]

2) [tex]u_{n+1}-u_n=\dfrac{1}{(n+1)^2}>0\Longrightarrow u_{n+1}-u_n>0\Longrightarrow u_{n+1}>u_n[/tex]

Donc la suite  [tex](u_n)[/tex]  est croissante.

3a) Pour k ≥ 2,  

[tex]\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}=\dfrac{k-(k-1)}{k(k-1)}\\\\=\dfrac{k-k+1}{k(k-1)}\\\\=\dfrac{1}{k(k-1)}\\\\>\dfrac{1}{k\times k}\\\\>\dfrac{1}{k^2}[/tex]

Donc   [tex]\dfrac{1}{k^2}<\dfrac{1}{k-1}-\dfrac{1}{k}[/tex]

3b)  [tex]\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k^2}\ \leq\ \sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k}\\\\u_n-1\ \leq\ \sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k}-\sum_{k=2}^{n}\dfrac{1}{k}\\\\u_n-1\ \leq\ 1+\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{1}{k}-\sum_{k=2}^{n-1}\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{n}\\\\u_n-1\ \leq\ 1-\dfrac{1}{n}\\\\u_n\ \leq\ 2-\dfrac{1}{n}[/tex]

3c) La suite ne peut pas tendre vers l'infini car elle est croissante et bornée par 2.
En effet :  [tex]u_n\ \leq\ 2-\dfrac{1}{n}\le2[/tex].

La suite (Un) converge vers une limite finie.

d)  [tex]\lim_{n\to+\infty}\ u_n=\dfrac{\pi^2}{6}\approx1,645[/tex]

e) Voici un algorithme.

VARIABLES
n ; u : nombres réels

DEBUT_ALGORITHME
n PREND_LA_VALEUR 1
u PREND_LA_VALEUR 1

TANT_QUE (u<=1.64) FAIRE
      DEBUT_TANT_QUE
      u PREND_LA_VALEUR u+1/((n+1)*(n+1))
      n PREND_LA_VALEUR n+1
      FIN_TANT_QUE

AFFICHER n
FIN_ALGORITHME.

f) La valeur de n est égale à 203.
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