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Bonjour j'ai besoin d aide pour mon Dm de math pouvez vous m aider ?
Exercice 1
Dans un triangle ABC on considère D,E et F définis par:
Vecteur AD= -1/2 AC
Vecteur AE= 1/4 AB
Vecteur BF= 1/2 BC
On souhaite montrer, par deux méthodes différentes, que les points D,E et F sont alignés.


Merci d avance pour votre réponse


Sagot :

MonsieurFirdown
Bonjour


♧ Méthode vectorielle :

●DE = DA + AE
DE = - AD + AE
DE = (1/2)AC + (1/4)AB

●DF = DA + AF
DF = DA + (AB + BF)
DF = - DA + AB + (1/2)BC
DF = (1/2)AC + AB + (1/2) [ BA + AC ]
DF = (1/2)AC + AB - (1/2)AB + (1/2)AC
DF = AC + (1/2) AB

● On a donc :
DE = (1/2) [AC + (1/2)AB ] = (1/2) DF

--> Les vecteurs DE et DF sont colineaires, donc les points D, E, F sont alignés...

♧ Méthode analytique :

Dans le repère ( A, AC ; AB ) , on a :
A(0;1)
C(1,0)
B(0,1)

● AD = -(1/2) AC d'où D ( -(1/2) ; 0 )

● AE = (1/4)AB d'où E ( 0 ; (1/4) )

● BF = (1/2)BC
BA + AF = (1/2) [ BA + AC ]
AF = -(1/2)BA + (1/2)AC
AF = (1/2)AB + (1/2)AC
AF = (1/2)AC + (1/2)AB d'où F( (1/2) ; (1/2) )

● On a donc :

xDE ( 0 - (-1/2) ) = (1/2)
yDE ( (1/4) - 0 ) = (1/4)
DE ( (1/2) ; (1/4) )

xDF ( (1/2) - (-1/2) ) = (2/2) = 1
yDF ( (1/2) - 0 ) = (1/2)
DF = ( 1 ; (1/2) )
D'où
[ (1/2) × (1/2) ] - [ (1/4) × 1 ] = (1/4) - (1/4) = 0

--> Les vecteurs DE et DF sont colineaires, donc les points D, E, F sont alignés...

Voilà ^^
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