exercice 2 = géométrie --> difficile par correspondance --> propose ta solution et on te corrigera .
exercice 3 = enfantin !
x³ - 6x + 3 = 0 est un polynôme du 3ème degré admettant 3 solutions :
x1 ≈ -2,669 ; Xo ≈ 0,524 ; x2 ≈ 2,145 ( arrondis au millième ! )
la seule solution comprise entre 0 et 2 est Xo ≈ 0,52 environ .
Démonstration :
■ le "polynôme dérivé" est 3x² - 6 ; ce polynôme est nul pour x² = 2 donc pour x = -√2 OU x = +√2 .
■ La fonction associée au polynôme du 3ème degré est donc décroissante pour -√2 < x < √2 ( elle est croissante en dehors de cet intervalle ! ) .
■ p(0) = 3 ; et p(√2) = 2√2 - 6√2 + 3 = 3 - 4√2 ≈ -2,66
utilisons le tâtonnement ( la dichotomie ) :
■ p(√2/2) = 2√2/8-3√2+3 = 0,25√2-3√2+3 = 3-2,75√2 ≈ -0,89
■ p(0,5) = 0,125 - 3 + 3 = 0,125
■ p(0,6) = 0,216 - 3,6 + 3 = -0,384
■ p(0,55) = 0,166375 - 3,3 + 3 ≈ -0,134
■ p(0,52) = 0,140608 - 3,12 + 3 = 0,020608
■ p(0,524) ≈ -0,000122
conclusion :
la valeur Xo = 0,52 est une valeur approchée convenable pour annuler le polynôme du 3ème degré !
2°) Volume d' eau dans le cylindre = π x R² x hauteur
= π x 10² x 5 ≈ 1571 cm³ ( soit 1,571 Litre ! )
■ ajoutons une bille de rayon "r" ; de volume 4π r³/3 ≈ 4,1888 r³
■ le Volume TOTAL eau + bille = 1571 + 4,1888 r³
ce nouveau Volume est égal à π x 10² x 2r ≈ 628,32 r ; on doit donc résoudre :
4,1888 r³ + 1571 = 628,32 r
4,1888 r³ - 628,32 r + 1571 = 0
r³ - 150 r + 375 = 0
d' où les trois solutions :
r1 ≈ -13,35 ; r2 ≈ 2,62 cm ; r3 ≈ 10,73 cm
conclusion :
le rayon cherché est positif et inférieur à 10 cm, donc le seul résultat convenable est r = 2,62 cm --> diamètre de la bille = 5,24 cm = 0,524 dm .
vérif : Vbille = 75,3 cm³ --> Vtotal = 1646,3 cm³ --> hauteur = Vtotal/(100π) = 5,24 cm --> vérif ok !
remarque :
on retrouve bien le résultat du 1°) diamètre = 0,524 dm !
