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Lilacool11
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On considère l’équation x^2 - 7y^2 = 3, x et y entiers relatifs

1) soit un couple d’entiers (x;y) solution de l’équation quel est le reste dans la div euclidienne de x^2 par 7

2)soit x un entier relatif déterminer les restes possibles dans la div exclu de x^2 par 7

3) en déduire que l’équation n’admet pas de solution

Sagot :

ProfdeMaths1

1) (E) : x²-7y³=3 donc x²=3+7y³ donc x²≡3 [7]

2) on effectue une disjonction de cas :

x=7k ⇒ x²≡49k² [7] ≡ 0 [7]

x=7k+1 ⇒ x²≡49k²+14k+1 [7] ≡ 1 [7]

x=7k+2 ⇒ x²≡49k²+28k+4 [7] ≡ 4 [7]

x=7k+3 ⇒ x²≡49k²+42k+9 [7] ≡ 2 [7]

x=7k+4 ⇒ x²≡49k²+56k+16 [7] ≡2 [7]

x=7k+5 ⇒ x²≡49k²+70k+25 [7] ≡4 [7]

x=7k+6 ⇒ x²≡49k²+84k+36 [7] ≡1 [7]

3) en conclusion il est impossible que x²≡3 [7]

donc l'équation (E) n'a pas de solution (x;y) d'entiers relatifs

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