Bonjour,
1)
. force d'attraction de la Terre sur un objet au point O :
F₁ = G x Mt x m/Dt²
avec Mt masse de la Terre,
m masse de l'objet
et Dt distance de l'objet au centre de la Terre
. idem pour la force d'attraction de la Lune sur l'objet :
F₂ = G x Ml x m/Dl²
avec Ml masse de la Lune,
et Dl distance de l'objet au centre de la Lune
2) F₁ = F₂
⇒ G x Mt x m/Dt² = G x Ml x m/Dl²
⇔ Mt/Dt² = Ml/Dl²
⇔ Mt x Dl² = Ml x Dt²
On sait : Dt + Dl = D distance Terre-Lune
donc Dl = D - Dt
⇒ Mt x (D - Dt)² = Ml x Dt²
⇔ Mt x D² - 2 x Mt x D x Dt + Mt x Dt² = Ml x Dt²
⇔ (Mt - Ml)Dt² - 2MtDDt + MtD² = 0
équation du second degré de la forme : Ax² + Bx + C = 0
avec A = Mt - Ml, B = -2MtD et C = MtD² et x = Dt
Δ = B² - 4AC
racines : x₁ = (-B - √Δ)/2A et x₂ = (-B + √Δ)/2A
Donc Dt = x₁ ou x₂ = [2MtD +/- √[(2MtD)² - 4(Mt - Ml)MtD²]/2(Mt - Ml)
Calculs intermédiaires :
Mt = 5,97.10²⁴ kg, Ml = 7,34.10²² kg D = 3,84.10⁸ m
donc : A = Mt - Ml ≈ 5,90.10²⁴
B = -2MtD ≈ -4,58.10³³
C = MtD² ≈ 8,80.10⁴¹
Δ = B² - 4AC ≈ 2,08.10⁶⁵
⇒ x₁ = (-B - √Δ)/2A ≈ 3,5.10⁸ m soit 350000 km environ
x₂ ≈ (-B + √Δ)/2A ≈ 4,3.10⁸ m soit 430000 km donc au-delà de la Lune
x₂ est donc à éliminer
Dt = x₁ ≈ 350000 km de la Terre,
donc très près de la Lune (dl = D - Dt = 384000 - 350000 = 34000 km),
ce qui est logique puisque Mt ≈ 81 x Ml
On pouvait aussi raisonner comme suit sans avoir à résoudre une équation du 2nd degré :
Mt x Dl² = Ml x Dt²
⇔ (Dt/Dl)² = Mt/Ml ≈ 81
⇒ Dt/Dl ≈ 9
Dt + Dl = D = 384000 km
donc Dl = D- Dt
⇒ Dt/(D - Dt) = 9
⇔ Dt = 9(D - Dt)
⇔ 10Dt = 9D
⇔ Dt = 9/10 x D
donc Dt = 9/10 x 384000 = 345600 km
