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Sagot :
a) Montrer que si f est strictement croissante sur un intervalle I, alors g est strictement croissante sur I.
Soit a et b appartiennent à I tel que a ≤ b.
Supposons que f soit strictement croissante sur un intervalle I
a ≤ b
f (a) ≤ f (b) car f est strictement croissante sur I
1 / f (a) ≥ 1 / f (b)
-1 / f (a) ≤ -1 / f (b)
1 - 1/ f (a) ≤ 1 - 1 / f (b)
g (a) ≤ g (b)
Donc a ≤ b
Soit g (a) ≤ g (b) alors g est strictement croissante sur I
b) Montrer que si f est strictement décroissante sur un intervalle I, alors g est strictement décroissante sur I
Soit a et b appartenant à I tel que a < b.
Supposons que f soit strictement décroissante sur un intervalle I
a ≤ b
f (a) ≥ f(b) f est strictement décroissante sur I
1 / f (a) ≤ 1 / f (b)
-1 / f (a) ≥ -1 / f (b)
1 - 1 / f (a) ≥ 1 - 1 / f (b)
g (a) ≥ g (b)
Donc a ≥ b
Soit g(a) ≥ g(b) alors g est strictement décroissante sur I
Soit a et b appartiennent à I tel que a ≤ b.
Supposons que f soit strictement croissante sur un intervalle I
a ≤ b
f (a) ≤ f (b) car f est strictement croissante sur I
1 / f (a) ≥ 1 / f (b)
-1 / f (a) ≤ -1 / f (b)
1 - 1/ f (a) ≤ 1 - 1 / f (b)
g (a) ≤ g (b)
Donc a ≤ b
Soit g (a) ≤ g (b) alors g est strictement croissante sur I
b) Montrer que si f est strictement décroissante sur un intervalle I, alors g est strictement décroissante sur I
Soit a et b appartenant à I tel que a < b.
Supposons que f soit strictement décroissante sur un intervalle I
a ≤ b
f (a) ≥ f(b) f est strictement décroissante sur I
1 / f (a) ≤ 1 / f (b)
-1 / f (a) ≥ -1 / f (b)
1 - 1 / f (a) ≥ 1 - 1 / f (b)
g (a) ≥ g (b)
Donc a ≥ b
Soit g(a) ≥ g(b) alors g est strictement décroissante sur I
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