g ' (x) = exp x - 1 .
exp x - 1 > 0 donne exp x > 1 donc x > Ln 1 d' où x > 0 .
La dérivée est positive pour x > 0 ; la dérivée est nulle pour x = 0 ; la dérivée est négative ( donc g est décroissante ) pour x < 0 .
tableau :
x --> -∞ -3 -2 -1 0 1 2 3 +∞
g ' (x) --> - 0 +
g(x) --> +∞ 4,05 3,14 2,37 2 2,72 6,39 18,1 +∞
■ remarque : g(x) toujours positive puisque g(x) ≥ 2 .
partie B :
f(x) = x + 1 + (x/exp x) donne f ' (x) = 1 + (exp x - x*exp x)/exp 2x
= 1 + (1-x)/ exp x
= (exp x + 1 - x) / exp x
= g(x) / exp x .
tableau :
x --> -1 0 1 2 3 4 5 6 +inf
f ' (x) --> + 2 + 1 +
f(x) --> -2,72 1 2,37 3,27 4,15 5,07 6,03 7,01 +inf
■ remarque :
la courbe représentative de la fonction f approche ( par dessus )
l' asymptote oblique d' équation y = x + 1 .
