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Bonjour,
1) t > -1
Coefficient multiplicateur : c = 1 + t
(si par exemple, le cours vaut une valeur x, après évolution d'un taux t, elle vaudra : x + x*t% = (1 + t)x)
Coefficient multiplicateur réciproque : cr = 1/c = 1/(1 + t)
Donc taux d'évolution réciproque : t' = cr - 1
soit t' = 1/(1 + t) - 1
2) f(t) = 1/(1 + t) - 1
f'(t) = -1/(1 + t)²
Donc f'(t) strictement négative ⇒ f strictement décroissante sur ]-1 ; +∞[
3) f(0) = 1/(1 + 0) - 1 = 0
4) on en déduit :
t -1 0 +∞
f'(t) - -
f(t) décrois. 0 décrois.
donc sur ]-1;0[, f(t) > 0,
et sur ]0;+∞[, f(t) < 0
5) f(t) = 1/(1 + t) - 1
= 1/(1 + t) - (1 + t)/(1 + t)
= [1 - (1 + t)]/(1 + t)
= -t/(1 + t)
6) f[f(t)] = -f(t)/[1 + f(t)]
= [t/(1 + t)]/[1 - t/(1 + t)]
= [t/(1 + t)]/[(1 + t - t)/(1 + t)]
= t/1
= t
Le taux réciproque du taux réciproque t' est le taux initial t :
Si t' = f(t), alors f(t') = t