Le théorème de Pythagore
Dans un triangle rectangle il existe une relation entre les longueurs de ses côtés donnée par le théorème de Pythagore :
"Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés"
On appelle hypoténuse le plus grand côté du triangle, celui-ci est toujours le côté opposé de l'angle droit.
Soit le triangle ABC rectangle en A donné en image jointe, une version un petit peu plus mathématique du théorème est : [tex]BC^2=AB^2+AC^2[/tex]
1 - Trouver une longueur dans un triangle rectangle
Prenons un triangle ABC rectangle en A. On nous donne AB = 2 cm et AC = 3 cm. Que vaut BC ?
Rédaction :
Dans le triangle ABC rectangle en A on a d'après le théorème de Pythagore : [tex]BC^2=AB^2+AC^2[/tex]
[tex]BC^2=2^2+3^2[/tex]
[tex]BC^2=4+9[/tex]
[tex]BC^2=13[/tex]
[tex]\boxed{BC=\sqrt{13} \approx 3,61 \ cm}[/tex]
A présent, on considère que l'on connaît BC = 10 cm et AB = 3 cm. Que vaut AC ?
Dans le triangle ABC rectangle en A on a d'après le théorème de Pythagore : [tex]BC^2=AB^2+AC^2[/tex]
[tex]AC^2=BC^2-AB^2[/tex]
[tex]AC^2=10^2-3^2[/tex]
[tex]AC^2=100-9[/tex]
[tex]AC^2=91[/tex]
[tex]\boxed{AC=\sqrt{91} \approx 9,54 \ cm}[/tex]
2 - Démontrer qu'un triangle est rectangle
Dans cette partie on suppose que l'on nous donne les trois longueurs et on veut savoir si le triangle est rectangle ou non.
AB = 2 cm, AC = 3 cm et BC = 4 cm
Rédaction :
Dans le triangle ABC, BC est le plus grand côté.
D'une part : [tex]BC^2=4^2=16[/tex]
D'autre part : [tex]AB^2+AC^2=2^2+3^2=4+9=13[/tex]
AB² + AC² ≠ BC²
D'après le théorème de Pythagore, le triangle n'est pas rectangle.
AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm
Rédaction :
Dans le triangle ABC, BC est le plus grand côté.
D'une part : [tex]BC^2=5^2=25[/tex]
D'autre part : [tex]AB^2+AC^2=3^2+4^2=9+16=25[/tex]
BC² = AB² + AC²
D'après le théorème de Pythagore, le triangle est rectangle en A.
Astuce : Pour savoir en quel point le triangle est rectangle, on regarde quel point n'est pas présent dans l'hypoténuse.
Ici l'hypoténuse est BC, le triangle est donc rectangle en A.
