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Sagot :
Equation du premier degré
Exemple 1 : Facile
On considère l'équation suivante :
[tex]3x + 2 = 5[/tex]
A savoir : faire la même opération des deux côtés du signe d'égalité ne change pas le résultat.
Etape 1 : On retranche la constante pour avoir le nombre avec x tout seul d'un côté
[tex]3x + 2 - 2 = 5 - 2[/tex]
[tex]3x = 3 [/tex]
Etape 2 : On divise des deux côtés par le nombre devant le [tex]x[/tex]
[tex]\frac{3x}{3}= \frac{3}{3} \\\\\\\boxed{x=1}[/tex]
Exemple 2 : Moyen
On considère l'équation suivante :
[tex]5x + 2 = 3x - 4[/tex]
Etape 1 : On met toutes les constantes à droite pour que à gauche on ait seulement le nombre avec le x
[tex]5x + 2 -2= 3x - 4-2[/tex]
[tex]5x = 3x - 6[/tex]
Etape 2 : On met tous les nombres avec x à gauche
[tex]5x -3x = 3x - 6-3x[/tex]
[tex]2x= -6[/tex]
Etape 3 : On divise par le nombre devant le x
[tex]\frac{2x}{2}= \frac{-6}{2} \\\\\\\boxed{x=-3}[/tex]
Exemple 3 : Difficile
On considère l'équation suivante :
[tex]\frac{1}{2}x+5= \frac{3}{4}x- \frac{5}{6}[/tex]
Etape 1 : On met toutes les constantes à droite pour que à gauche on ait seulement le nombre avec le x
[tex]\frac{1}{2}x+5-5= \frac{3}{4}x- \frac{5}{6}-5[/tex]
[tex]\frac{1}{2}x= \frac{3}{4}x-\frac{35}{6}[/tex]
Etape 2 : On met tous les nombres avec x à gauche
[tex]\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}x= \frac{3}{4}x-\frac{35}{6}-\frac{3}{4}x[/tex]
[tex]\frac{-1}{4}x=-\frac{35}{6}[/tex]
Etape 3 : On divise par le nombre devant le x
[tex]\frac{\frac{-1}{4}x}{\frac{-1}{4}}=\frac{\frac{-35}{6}}{\frac{-1}{4}} \\\\\\x=\frac{-35}{6}\times\frac{-4}{1}\\\\\\\boxed{x = \frac{70}{3}}[/tex]
Rappel : Diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse
Equation du premier degré à une inconnue.
1) Compréhension du problème :
5 x 4 = 13 + 7 est une égalité
l'écriture 5 + x = 12 pose une question
Quel nombre faut-il mettre à la place de la lettre x pour obtenir une égalité .
la réponse est 7 : 5 + 7 = 12
5 + x = 12 est une équation, 7 est la solution de cette équation.
5 + x et 12 sont les deux membres de l'équation. La résoudre c'est trouver sa solution.
2) Méthode :
L'équation x = 8 a pour solution 8 (8=8)
Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue on se ramène à une équation du type
x = a
à l'aide des propriétés suivantes :
1ère propriété : on ne modifie pas les solutions d'une équation en ajoutant un même nombre aux deux membres de cette équation
x + 5 = 12 ; x + 5 - 5 = 12 - 5 ; x = 12 - 5 ; x = 7 la solution est 7
2e propriété : on ne modifie pas les solutions d'une équation en multipliant (ou en divisant) les deux membres de cette équation par un même nombre non nul.
3x = 18 ; 3x/3 = 18/3 ; x = 6 la solution est 6
3) Exemple :
5 - 3x = -7 ; 5 - 3x + 3x = -7 + 3x ; 5 = -7 + 3x ; 5 + 7 = -7 + 7 + 3x ;
12 = 3x ; 12/3 = 3x/3 ; 4 = x la solution est 4
on a utilisé les deux propriétés.
Vérification des calculs :
on remplace x par la valeur trouvée dans l'équation de départ
5 - 3x4 = -7 ; 5 - 12 = -7 ; -7 = -7 égalité juste.
4) Quelque cas simples mais parfois sources d'erreurs :
3x = 3 a pour solution 1 (3x/3 = 3/3)
4x = -4 a pour solution -1 (4x/4 = -4/4)
3x = 0 a pour solution 0
5) Remarque importante :
soit à résoudre l'équation x + 3 = -4
on ajoute -3 aux deux membres x + 3 - 3 = -4 -3
écrire : x = -4-3 = -7 est une erreur. Les deux signes "=" n'ont pas le même sens.
x = -4-3 est une équation -4-3 = -7 est une égalité
Il faut récrire un signe "=" à chaque calcul
x = -4 -3 ; x = -7 quand on en est arrivé là ce n'est pas encore fini car x = -7 est toujours une équation. On termine en disant : la solution de cette équation est -7
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