Réponse :
courbe sous l' asymptote ( y = 0,5 ) pour x < 0,5 .
Explications étape par étape :
■ f(x) = (x²+5x-2) / (2x²+1)
■ f ' (x) = [ (2x²+1)(2x+5) - (x²+5x-2)(4x) ] / (2x²+1)²
= [ 4x³+10x²+2x+5 - (4x³+20x²-8x) ] / (2x²+1)²
= [ -10x²+10x+5 ] / (2x²+1)²
= -10 ( x² - x - 0,5 ) / (2x²+1)²
■ étudions le signe de x² - x - 0,5 :
Δ = b²-4ac ♥
Δ = 1²-4*(-0,5) = 1 + 2 = 3 = (√3)²
solutions : x1 = 0,5*(1-√3) ≈ -0,366
x2 = 0,5*(1+√3) ≈ 1,366 .
■ conclusion :
la fonction f est croissante pour -0,366 < x < 1,366 .
■ pour x tendant vers l' infini :
Lim f(x) = Lim x²/(2x²) = 1/2 = 0,5 donc
l' équation de l' asymptote horizontale cherchée est
y = 0,5 .
■ résolvons f(x) = 0,5 :
x²+5x-2 = x²+0,5 donne 5x = 2,5 donc x = 0,5 .
■ conclusion :
la courbe est SOUS l' asymptote pour x < 0,5
( AU-DESSUS de l' asymptote pour x > 0,5 ) .
■ tableau :
x --> -∞ -0,366 0 0,5 1,366 √2 +∞
f ' (x) --> - 0 + 0 -
f(x) --> 0,5- -2,915 -2 0,5 1,415 √2 0,5+
