Réponse :
Explications étape par étape :
Partie A :
■ f(x) = (x²-3x+1)/(x-2) pour x < 2
■ pour x tendant vers -∞ : Lim f(x) = -∞
Lim f(x)/x = 1 ; et Lim f(x) - x = Lim (x²-3x+1 - x²+2x)/(x-2)
= Lim (1-x) / (x-2) = -1
donc y = x - 1 est l' équation de l' asyptote oblique !
pour x tendant vers 2- : Lim f(x) = Lim -1/0- = +∞ .
■ la fonction f est toujours croissante pour x < 2 ;
f(1) = 1 et f(1,5) = 2,5
donc il existe bien une valeur Xo de x
telle que 1 < Xo < 1,5 et f(Xo) = 2
une recherche plus précise donne 1,38 < Xo < 1,39 .
■ la courbe est TOUJOURS au-dessus de l' asymptote oblique :
(x²-3x+1)/(x-2) > x-1 donne x²-3x+1 < (x-1)(x-2)
x²-3x+1 < x²-3x+2 vérifié !
Partie B :
■ f(x) = -0,5x² + x + 0,5 donne une Parabole en ∩
admettant un Maximum ( 1 ; 1 )
donc la suite (Un) est bien majorée par 1 .
■ f(L) = L donne -0,5 L² + 0,5 = 0 donc L² = 1 d' où L = 1 .
vérif : Uo = -0,5 ; U1 = -0,125 ; U2 ≈ 0,367 ; U3 ≈ 0,8 ;
U4 ≈ 0,98 ; U5 ≈ 1 ; U6 ≈ 1 --> vérifié !
