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Bonjour j'ai besoin d'un coup de main pour cet exercice sur les récurrences Merci d'avance pour votre aide

Bonjour Jai Besoin Dun Coup De Main Pour Cet Exercice Sur Les Récurrences Merci Davance Pour Votre Aide class=

Sagot :

Réponse :


Explications étape par étape

Bonjour,

Montrons par récurrence sur n∈ℕ* la propriété P : "[tex]S_n=\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)=n^2[/tex]"


Initialisation :

[tex]S_1=\sum\limits_{k=1}^1 (2k-1)=2*1-1=1=1^2[/tex]

Donc P est vraie au rang 1.


Hérédité :

On suppose P vraie pour un certain n∈ℕ*

[tex]S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) = (2(n+1)-1)+\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1) = 2n+2-1+\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1) = 2n+1+\sum\limits_{k=1}^{n} (2k-1)[/tex]

Or [tex]\sum\limits_{k=1}^n (2k-1)=n^2[/tex] par hypothèse de récurrence

Ainsi, [tex]S_{n+1}=\sum\limits_{k=1}^{n+1} (2k-1) =2n+1+n^2=n^2+2n+1=(n+1)^2[/tex]

Donc P est vraie au rang n+1.


Conclusion :

∀n∈ℕ*, P est vraie.

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