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1) Je considère le quadrilatère EAFC.
EA = 1/3 AB et CF = 1/3 CD. Dans un losange les côtés ont même longueur, AB = CD donc EA = CF.
Un losange est un parallélogramme, les côtés opposés sont parallèles. (AB)//(CD) donc EA//CF
Le quadrilatère EAFC qui a deux côtés opposés parallèles et de même longueur est un parallélogramme.
Dans ce parallélogrammes les diagonales EF et AC se coupent en leur milieu. Le milieu de AC est le centre du losange ABCD, c'est le point K. EF passe par K.
2) Les triangles MFD et MEA sont homothétiques (EA//FD)
on peut écrire les rapports MF/ME = MD/MA = FD/EA
FD/EA = 2 (FD = 2/3 d'un côté et EA = 1/3 d'un côté)
on a donc MF/ME = 2 d'où ME = EF et MD/MA = 2 d'où MA = AD
on démontre de même dans les triangles homothétiques NEB et NFC que NF = FE et que NC = CB
ME = EF et NF = FE d'où ME = EF = FN
3) on a démontré que MA = AD on sait que BA = AD (côtés)
dans le triangle MBD on a BA = AD = AM la médiane BA relative au côté MD est égale à la moitié de ce côté. Le triangle MBD est rectangle en B et les droites BM et BD sont perpendiculaires.