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Annemarie26
Answered

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Bonjour pourriez vous m'aider à ces questions svp et merci d'avance:
On considère la fonction f définie sur IR par
[tex]f(x) = \frac{1}{ {x}^{2} - 3x + 7} [/tex]
1) Montrer que quelques soient a et b de IR tels que ( a ≠ b)
[tex] \frac{f(a) - f(b)}{a - b} = \frac{3 -( a + b)}{({a}^{2} - 3a + 7)( {b}^{2} - 3 b + 7)} [/tex]
2) En déduire que la monotonie de f sur
[tex] ]-\infty ; \frac{3}{2} \: ] et \: sur [ \frac{3}{2} ; + \infty [ [[1 \: ;+ \infty \:[ [/tex]

Sagot :

Croisierfamily

Réponse :


Explications étape par étape :

■ f(x) = 1 / (x²-3x+7)  est TOUJOURS positive

■ dérivée f ' (x) :

   f ' (x) = - (2x-3)/(x²-3x+7)² = (3-2x)/(x²-3x+7)²

                                        positive pour x < 1,5 .

■ Limite pour x tendant vers l' infini :

  Lim f(x) = 0+ .

■ tableau :

   x -->           -∞               0            1,5          3           +∞

f ' (x) ->                    +     3/49          0    -    -3/49   -

f(x) -->           0+             1/7           0,21        1/7          0+

2°) f est donc monotone croissante pour x < 1,5

                                      ( décroissante pour x > 1,5 )

1°) f(a) - f(b) = 1/(a²-3a+7) - 1/(b²-3b+7)

                  = (b²-3b+7 -a²+3a-7) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)

                  = (b²-a²-3b+3a) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)

                  = (b-a)(b+a)+3(a-b) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)

                  = (a-b) (3-a-b) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)

    donc f(a) - f(b) / (a-b) = 3-a-b / (a²-3a+7)(b²-3b+7)

                                       = 3-(a+b) / (a²-3a+7)(b²-3b+7)

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