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Bige1234
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Bonjour, j'ai cet exercice a faire pour mercredi. Et je bloque sur les questions.

On considère un triangle ABC et on appelle A' B' C' les milieux respectifs des segments (BC) (AC) (AB). Le point O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Le point H est l'orthocentre du triangle ABC. Le point G est le centre de gravité du triangle ABC.

1) Réaliser une figure à l'aide d'un logiciel de géométrie dynamique.
Construire les vecteurs OH et OG. (Ça j'ai réussi)
Conjecturer un lien entre ces vecteurs (on déplacera les points A,B et C pour confirmer le conjecture)

2) a : Soit M le point défini par vecteur OM = vecteur OA + vecteur OB + vecteur OC.
En utilisant la relation de Chasles démontrer que vecteur AM = 2vecteur OA'. En déduire que le point M appartient à la hauteur du triangle ABC issue de A. Démontrer que les points M et H sont confondus.

b: Démontrer que OA +OB + OC = 3OG + (GA+GB+GC) (ce sont tous des vecteurs.) puis que OA + OB + OC = 3OG. (je pensait monter la colinéarité des vecteurs mais j'ai un gros doute car j'ai essayé et ça ne donne rien)

c: démontrer alors la conjecture émise à la question 1. (démontrer ?)

Merci a tous ceux qui pourront m'aider !

Sagot :

Jpmorin3

1) la conjecture : H, G et O sont alignés avec HG = 2GO

2)

a) je n'écris pas le mot vecteur, il est sous-entendu.

OM = OA + OB + OC

OM - OA = OB + OC  ;   AO + OM = OB + OC   ; AM = OB + OC

A' est le milieu de [BC]   OB + OC = 2OA'

On a AM = 2OA'

les vecteurs AM et OA' sont colinéaires, les droites (AM) et (OA') sont parallèles.

(OA') est la médiatrice de (BC] donc perpendiculaire à (BC)

La droite (AM) parallèle à la droite (OA') est perpendiculaire à (BC)

C'est la hauteur relative au côté [BC].

Le point M est sur cette hauteur.

en remplaçant A par B on montre de la même manière que M est sur la hauteur relative au côté [AC]

M se trouve sur 2 hauteurs du triangle, c'est l'orthocentre H

OH = OA + OB + OC

b)

OA +OB + OC = OG + GA + OG + GB + OG + GC =

                          3OG + (GA + GB + GC)

GA + GB + GC = GA + (GB + GC) = GA + 2GA'      (A' milieu [BC])

G se trouve sur chaque médiane à 1/3 à partir de la base

GA = -2GA'  d'où GA + 2 GA' = -2GA' + 2GA' = vecteur nul

GA + GB + GC = 0

OA + OB + OC = 3OG

c) résultats du a) et du b)

OH = OA + OB + OC      et       OA + OB + OC = 3OG

on en déduit que OH = 3OG

les points O, G, et H sont alignés (cette droite est appelée droite d'Euler)

G est entre O et H, deux fois plus loin de H que de O.


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