Réponse :
Explications étape par étape
exercice 3 :
Aire bleue = π x R² x â / 2π = â/2
( avec R = 1 et â en radians )
Aire jaune = ?
■ coordonnées de M (cosâ ; sinâ)
■ MI² = (1-cosâ)² + (sinâ)² = 1 - 2 cosâ + cos²â + sin²â
= 2 - 2 cosâ = 2(1 - cosâ)
donc MI = √(2-2cosâ) .
■ Périmètre MIO = 2+√(2-2cosâ)
demi-Périmètre = 1+0,5√(2-2cosâ)
■ Aire² = (1+0,5√(2-2cosâ))*(0,5√(2-2cosâ))²*(1-0,5√(2-2cosâ))
= (1-0,25(2-2cosâ))*(0,25(2-2cosâ))
= 0,25(2-2cosâ)-(1/16)(2-2cosâ)²
= 0,5(1 - cosâ) - 0,25(1 - cosâ)²
d' où Aire jaune = √(0,5(1 - cosâ) - 0,25(1 - cosâ)²)
■ on veut Aire jaune = la moitié de l' Aire bleue :
√(0,5(1 - cosâ) - 0,25(1 - cosâ)²) = â/4
0,5(1 - cosâ) - 0,25(1 - cosâ)² = â²/16
sin²(â/2) - (sin²(â/2))² = â²/16
â ≈ 1,8955 radian --> â ≈ 108,6° .
■ vérif : Aire bleue ≈ 0,948 ; Aire jaune ≈ 0,474 --> vérifié .
■ autre vérif : voici un tableau :
x --> 0 π/2 1,9 2π/3 radians
Aire bleue 0 π/4=0,8 0,95 π/3=1,05
Aire jaune 0 0,25 0,473 0,75
■ conclusion :
la valeur de l' angle cherché est voisine de 1,896 radian !
