Réponse :
Explications étape par étape
■ Uo = 1 ; U1 = 3/2 = 1,5 ; U2 = 7/5 = 1,4 ;
U3 = 17/12 ≈ 1,4166... ;
U4 = 41/29 ≈ 1,4138 ; ...
■ 1 ≤ Un+1 ≤ 1,5 donne 0 ≤ 1/(1+Un) ≤ 0,5
0 ≤ 1 ≤ 0,5 + Un/2
0,5 ≤ Un/2
1 ≤ Un .
■ recherche de la Limite :
L = 1 + 1/(1+L) donne L - 1 = 1/(1+L)
donc L² - 1 = 1 donc L² = 2 d' où L = √2 .
■ ■ donc on a bien 1 ≤ Un ≤ 1,5 .
3°) Un+1 - Un = (2+Un)/(1+Un) - (Un+Un²)/(1+Un)
= (2-Un²)/(1+Un)
= (Un-1² - 2) / [ (1+Un-1) *(3+2Un-1) ]
Un - Un-1 = (2 - Un-1²) / (1+Un-1)
comme 1 ≤ Un-1 ≤ 1,5 --> 1/6 ≤ 1/(3+2Un-1) ≤ 1/5
on a donc bien | Un+1 - Un | ≤ (1/4) | Un - Un-1 | .
4b) Bn = 1 + 1/(1+An)
comme 1 ≤ An ≤ 1,5 --> 1,4 ≤ Bn ≤ 1,5
on a bien An ≤ Bn .
4c) Bn = 1 + 1/(1+An) donne la dérivée Bn ' = -1/(1+An)²
toujours négative donc
la suite (Bn) est bien décroissante !
la suite (1+An) est donc croissante
d' où la suite (An) est bien croissante !
4d) les suites (Bn) et (An) convergent bien vers √2 .
5b) Lim Un = √2 .
5c) pour n ≥ 3 , on a déjà | (17/12) - √2 | < 0,01
0,0024531 < 0,01
donc la valeur N cherchée est N = 3 .
