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Sagot :
Réponse : 1) Calcul de la dérivée de g.
Il faut utiliser la formule [tex]\left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}[/tex] avec [tex]u=\sqrt{4x+1} et v=x[/tex].
Pour calculer [tex]u'[/tex], il faut utiliser la formule de dérivation des fonctions composées, soient [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] deux fonctions alors [tex](f(g(x))'=g'(x)f'(g(x))[/tex].
Ici [tex]f(x)=\sqrt{x}[/tex] et [tex]g(x)=4x+1[/tex], d'où
[tex](\sqrt{4x+1} )'=(f(g(x)))'=4 \times \frac{1}{2\sqrt{4x+1} }=\frac{2}{\sqrt{4x+1} }[/tex]
Il faut maintenant calculer la dérivée de [tex]v=x[/tex] et utiliser la formule de dérivation d'un quotient de deux fonctions.
2) [tex]g'(x)[/tex] est du signe de [tex]-(2x+1)=-2x-1[/tex] car [tex]x^{2}>0[/tex] sur [tex]D[/tex] et [tex]\sqrt{4x+1} > 0[/tex] sur [tex]D[/tex].
Puis le signe de [tex]g'(x)[/tex] donne les variations de [tex]g[/tex].
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