Réponse :
Oui, il faut utiliser le TVI
Explications étape par étape
1) f(x) = 2x e^(-x)
f est de la forme u.v => f' = u'v + uv'
u=2x u'=2
v=e^(-x) v'=-e^(-x)
f'(x) = 2e^(-x) -2xe^(-x) = (2-2x)e^(-x) = 2(1-x)e^(-x)
2)
e^(-x) est positif donc f'(x) est du signe de (1-x), positif si x<1, négatif si x>1
x 0 1 12
f'(x) + 0 -
f(x) 0 / 2/e \ 24/(e^12)
2/e : environ 0,7
24/(e^12) environ 0,0001
f(0) < 0,5 f(1)=>0,5 la fonction est continue et strictement monotone, donc il i a une valeur x1 appartenant à [0,1] telle que f(x1) = 0,5
Même raisonnement entre 1 et 12
On obtient x1=036 x2= 2,15
3) Pour la convexité, on se sert de la dérivée seconde
f"(x) = 2(x-2)e^(-x) qui est du signe de (x-2) négatif si x<2
x<2 f"(x)<0 fonction concave
x=2 f"(x)=0 inflexion
x>2 f"(x)>0 fonction convexe
Partie B
1) D'après le tableau de variation, l'alcoolémie est croissante pendant la première heure, puis décroissante.
2) Elle est maximale au bout d'une heure, de valeur 2/e, environ de 0,74 g/l
3) L'alcoolémie repasse sous la limite de 0,5g/l pour x = 2,15 soit 2h1/4 après avoir consommé de l'alcool dans la quantité qui fait monter l'alcoolémie à 0,74g/l
