Réponse : 1) [tex]\lim_{x \to -\infty} xe^{x}=0[/tex] par croissance comparée.
De plus, [tex]\lim_{x \to -\infty} e^{x}-1=-1[/tex]
d'où [tex]\lim_{x \to -\infty} f(x)=0[/tex].
2) a) Il faut développer [tex]x\left(1+\frac{1}{e^{x}-1} \right)[/tex] et retrouver f(x).
b) La limite en découle en utilisant la forme de la question 2)a).
3) f est continue en 0 si et seulement si [tex]\lim_{x \to 0} f(x)=f(0)=1[/tex].
Calculons [tex]\lim_{x \to 0} f(x)[/tex].
[tex]\lim_{x \to 0} f(x)= \lim_{x \to 0} \frac{xe^{x}}{e^{x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x}-1} e^{x}[/tex].
Calculons [tex]\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{e^{x}-1}{x} } .\\ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0}[/tex] avec [tex]g(x)=e^{x}[/tex].
On reconnait le taux de variation de [tex]g(x)=e^{x}[/tex] en 0 et on a:
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} =g'(0)[/tex]
[tex]g'(x)=(e^{x})'=e^{x}[/tex] donc [tex]g'(0)=e^{0}=1[/tex], d'où [tex]\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} =1[/tex], d'où:
[tex]\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^{x}-1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{e^{x}-1}{x} } =1[/tex].
Donc [tex]\lim_{x \to 0} f(x)= \lim_{x \to 0} \frac{xe^{x}}{e^{x}-1} =1[/tex].
Comme [tex]\lim_{x \to 0} f(x)= f(0)=1[/tex], f est continue en 0.
4) Il faut considérer la fonction [tex]x \mapsto e^{x}-x-1[/tex], établir son tableau de variations, pour montrer que [tex]e^{x}-x-1 \geq 0[/tex] pour tout [tex]x \in \mathbb{R}[/tex].
5) [tex]f[/tex] étant le quotient de deux fonctions, il faut utiliser la formule de dérivation: Soient [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] deux fonctions, alors [tex]\left(\frac{u}{v} \right)'=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}[/tex].
Explications étape par étape
