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Kaimaamg
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Dm sur les suites
Bonjour, pouriez vous m'aider pour la question 3)a et c
VARIABLES :

U, N
INITIALISATION :
Mettre 42 dans U
Mettre 0 dans N
TRAITEMENT :
Tant que U<100
U prend la valeur
U×0,95+6
N prend la valeur N+1
Fin du Tant que
SORTIE :
Afficher N

Énoncé :La commune doit finalement revoir ses dépenses à la baisse, elle ne pourra financer que 4000 nouveaux ouvrages par an au lieu des 6000 prévus. On appelle Vn le nombre, en milliers, d'ouvrages disponibles le 1er janvier de l'année 2013 + n.

1)Identifier et écrire la ligne qu'il faut modifier dans l'algorithme pour prendre en compte ce changement.
Reponce:On modifie ainsi l'intruction : U prend la valeur U×0,95+4

2)On admet que Vn+1=Vn×0,95+4 avec v0=42. Afin d'étudier le sens de variation de la suite (Vn), on introduit la suite (Wn) définie, pour toute entier naturel n, par: Wn = Vn-80
a) Montrer que, pour tout entier n, Wn+1=0,95×Wn.
Réponse :Wn+1=Vn+1-80
=Vn×0,95+4-80
=Vn×0,95-76
=(Wn+80)×0,95-76
=0,95Wn+76-76
=0,95Wn
b) Déterminer le premier terme de la suite (Wn)
Réponse:W0=V0−80 Soit W0=42−80=−38
3) On admet que, pour tout entier naturel n, Wn=-38×0,95n.
a )Calculer le nombre d'ouvrage disponibles en 2020.
Réponse :Wn=-38×0,95n
Wn=Vn-80 donc Vn=Wn+80
Vn=Wn+80
=-38×0,95n+80
Après je pense qu'il faut faire
2020-2013=7
Donc V7=-38×0,957+80
Mais mon résultat n'est pas cohérent donc c faux, donc je bloque
b)Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n, on a Wn+1-Wn=1,9×0,95n
Réponse :Wn+1=-38×0,95^n+1
=-38×0,95^n×0,95^1
=-36,1×0,95^n
Wn+1-Wn=-36,1×0,95n+38×0,95n
=0,95^n×(38-36,1)
=0,95^n×1,9
c)Étudier le sens de variation de la suite (Vn) pour déterminer si le nombre d'ouvrages augmente au cours du temps
Réponse : je pense qu'il faut d'abord faire la quesition précédente

Merci d'avance pour toute aide aporter

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1) OK.

2) a)

Je propose ceci car je ne comprends pas ta technique.

Wn+1=0,95×Wn.

Réponse :Wn+1=Vn+1-80

=Vn×0,95+4-80

=Vn×0,95-76 --->on met 0.95 en facteur.

=0.95*(Vn-80)

=0.95*Wn

qui prouve que (Wn) est une suite géométrique de raison q=0.95.

b)W0=-38 : OK.

3) a)Faute de frappe ou erreur.

On sait que pour une suite géométrique :

Wn=W(0)*q^n

soit ici : Wn=-38*0.95^n ( n est en puissance : ce que tu as écrit ensuite)

Donc :

V(n)=80-38*0.95^n

Donc en 2020 :

V(20)=80-38*0.95^7 ≈ 53.463 milliers de livres

soit environ : 53 463 livres.

b) OK

c)

W(n+1)-W(n)=0.95^n*1.9

Les 2 facteurs 0.95^n et 1.9 sont strictement positifs donc leur produit est positif.

Donc :

W(n+1)-W(n) > 0

Donc :

W(n+1) > W(n)

qui prouve que la suite (W(n)) est croissante.

c) Sens de variation de la suite (V(n)).

V(n+1)=80-0.95^(n+1)

V(n+1)-V(n)=80-0.95^(n+1)-[80-0.95^n]

....................=80-0.95^n*0.95-80+0.95^n

.....................=0.95^n(-0.95+1)

V(n+1)-V(n)=0.95^n*0.05

Les 2 facteurs 0.95^n et 0.05 sont strictement positifs donc leur produit est positif.

Donc :

V(n+1)-V(n) > 0

Donc :

V(n+1) > V(n)

qui prouve que la suite (V(n)) est croissante.

Le nombre d'ouvrages augmente au cours du temps.

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