Réponse :
a > 0 et b > 0 et p ∈ N tels que
√p ≤ a et ab = p
1) a) pourquoi a-t-on √p/a ≤ 1
√p ≤ a ⇔ √p/a ≤ a/a car a > 0
⇔ √p/a ≤ 1
b) en déduire que p/a ≤ √p
√p/a ≤ 1 ⇔ √p x √p/a√p or p > 0
⇔ p/a√p ≤ 1 ⇔ p/a ≤ √p
b ≤ √p ≤ a
p/a ≤ √p ⇔ ab/a ≤ √p b > 0
⇔ b ≤ √p et on a √p ≤ a ⇒ b ≤ √p ≤ a
2) a) montrer que (a + b)² - 4ab ≥ 0
a² + 2 ab + b² - 4ab ≥ 0 ⇔ a² - 2ab + b² ≥ 0 ⇔ (a - b)² ≥ 0
b) en déduire que √p ≤ 1/2(a + b)
(a + b)² ≥ 4ab ⇒ a + b ≥ 2√ab
⇔ 2√ab ≤ a + b ⇔ √ab ≤ 1/2(a+b) or ab = p donc √ab = √p
⇒ √p ≤ 1/2(a+b)
3) en déduire que b ≤ √p ≤ 1/2(a + b) ≤ a
on sait que b = p/a ≤ √p et on sait que √p ≤ 1/2(a+b) et on sait que √p ≤ a
donc b ≤ √p ≤ 1/2(a + b) ≤ a
Explications étape par étape
