Réponse :
Explications étape par étape
Bon, je reprends avec toi, en supposant que tu as bien vu que [tex]A = P D P^{-1}[/tex]
On a donc [tex]A^2 = A\times A = P D P^{-1} P D P^{-1}[/tex]
Mais [tex]P^{-1} P = I[/tex] matrice Identité, élément neutre de la multiplication. Il nous reste [tex]A^2 = P D D P^{-1} = P D^2 P^{-1}[/tex]
C'est pareil pour A au cube : [tex]A^3 = A\times A^2 = P D P^{-1} \times P D^2 P^{-1} = P D (P^{-1} P) D^2 P^{-1} = P D^3 P^{-1}[/tex]
2e) [tex]A^n = P D^n P^{-1} = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0& \frac 1 {2^n}\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&2\\1&-1\end{array}\right] \\A^n = \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\end{array}\right] \left[\begin{array}{ccc}-1&2\\\frac 1 {2^n}&-\frac 1 {2^n}\end{array}\right] \\A^n = \left[\begin{array}{ccc} -1+\frac 2 {2^n} & 2-\frac 2 {2^n} \\ -1+\frac 1 {2^n} & 2-\frac 1 {2^n} \end{array}\right][/tex]
2f [tex]Un = \left[\begin{array}{ccc}P_n\\P_{n+1}\end{array}\right] = A^n U_0= A^n \left[\begin{array}{ccc}4000\\6000\end{array}\right][/tex]
Après calculs, tu vas constater que Un tend vers 2000 quand n tend vers l'infini
