Bonjour;
1)
Théorème : Si un triangle est inscrit dans un cercle et que l'un des côtés de ce triangle est le diamètre de ce cercle, alors le triangle est rectangle et son hypoténuse est le diamètre du cercle.
Le diamètre du cercle circonscrit au triangle ABC est l'un des côtés
de ce triangle , donc celui-ci est un triangle rectangle ; et comme B
n'appartient pas au diamètre , donc le triangle ABC est rectangle en B .
Voici une autre méthode .
AB² = (1 - (- 1))² + (2 - 1)² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5 .
AC² = (3 - (- 1))² + (- 2 - 1)² = 4² + (- 3)² = 16 + 9 = 25 .
BC² = (3 - 1)² + (- 2 - 2)² = 2² + (- 4)² = 4 + 16 = 20 .
On a : AB² + BC² = 5 + 20 = 25 = AC² ; donc en appliquant le
théorème réciproque de Pythagore , le triangle ABC est
rectangle en B .
2)
Le diamètre du cercle est AC = 5 ;
donc le rayon du cercle est : AC/2 = 5/2 = 2,5 .
Je note G le centre Omega du cercle .
G est le milieu du segment [AC] , donc ces coordonnées sont :
(- 1 + 3)/2 = 2/2 = 1 et (1 - 2)/2 = - 1/2 = - 0,5 .
3)
GE² = (1 - 3)² + (- 0,5 - 1)² = (- 2)² + (- 1,5)² = 4 + 2,25 = 6,25 ;
donc : GE = √(6,25) = 2,5 ;
donc : E est un point du cercle .
4)
On a : tan(ACB) = BA/BC = (√5)/√(20) = √(5/20) = √(1/4) = 1/2 = 0,5 ;
donc la mesure de ACB est : 26,6° .
