Bonjour;
1)
∀ x ∈ IR ; x² ≥ 0 ;
donc : ∀ x ∈ IR ; x² + 1 ≥ 1 > 0 ;
donc : Df = IR .
2)
f ' (x) = ((e^x)' (x² + 1) - (x² + 1)' e^x)/(x² + 1)²
= (e^x (x² + 1) - 2xe^x)/(x² + 1)²
= ((x² + 1 - 2x)e^x)(x² + 1)²
= ((x - 1)² e^x)/(x² + 1)² ≥ 0 .
On note Cf la courbe représentative de f .
Pour tout x ∈ IR ; f ' est positive ; donc f est croissante .
3)
On a : f ' (0) = 1 et f(0) = 1 ;
donc l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 est :
y = f ' (0) x + f(0) = x + 1 .
4)
f ' (1) = 0 ; donc Cf admet une tangente horizontale à Cf
au point d'abscisse x = 1 .
5)
Veuillez-voir le fichier ci-joint .
