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Sagot :
Bonsoir,
1) Le point C est sur le cercle de centre A et de rayon AB si AC = AB.
[tex]AC=\sqrt{(x_C-x_a)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(-6+5)^2+(-4+1)^2}\\\\=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\\\\\\AB=\sqrt{(x_B-x_a)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-4+5)^2+(-4+1)^2}\\\\=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}[/tex]
Donc AC = AB et le point C est sur le cercle de centre A et de rayon AB.
2) Si le point D est un point diamétralement opposé au point C, alors le point A est le milieu de [CD]
Donc : [tex](x_A;y_A)=\dfrac{1}{2}(x_C+x_D;y_C+y_D)\\\\(-5;-1)=\dfrac{1}{2}(-6+x_D;-4+y_D)\\\\(-5;-1)=(\dfrac{-6+x_D}{2};\dfrac{-4+y_D}{2})\\\\\\\left\{\begin{matrix}-5=\dfrac{-6+x_D}{2}\\\\-1=\dfrac{-4+y_D}{2}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}-10=-6+x_D\\\\-2=-4+y_D\end{matrix}\right..\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_D=-4\\\\y_D=2\end{matrix}\right.[/tex]
Donc D(-4 ; 2)
3) Le triangle BCD est inscrit dans un cercle et son côté [CD] est un diamètre.
Par conséquent, ce triangle BCD est rectangle et [CD] est l'hypoténuse.
4) Dans le triangle BCD, nous avons :
[tex]sin(\widehat{BCD})=\dfrac{BC}{CD}[/tex]
Or [tex]BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(-6+4)^2+(-4+4)^2}\\\\=\sqrt{(-2)^2+0^2}=\sqrt{4}=2\\\\CD=2\times AC=2\sqrt{10}[/tex]
D'où [tex]sin(\widehat{BCD})=\dfrac{2}{2\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}[/tex]
[tex]\widehat{BCD}=sin^{-1}(\dfrac{1}{\sqrt{10}})\approx18,43^o[/tex]
Par conséquent [tex]\widehat{BAD}=2\times18,43^o=36,86^o[/tex]
1) Le point C est sur le cercle de centre A et de rayon AB si AC = AB.
[tex]AC=\sqrt{(x_C-x_a)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(-6+5)^2+(-4+1)^2}\\\\=\sqrt{(-1)^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\\\\\\AB=\sqrt{(x_B-x_a)^2+(y_B-y_A)^2}=\sqrt{(-4+5)^2+(-4+1)^2}\\\\=\sqrt{1^2+(-3)^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}[/tex]
Donc AC = AB et le point C est sur le cercle de centre A et de rayon AB.
2) Si le point D est un point diamétralement opposé au point C, alors le point A est le milieu de [CD]
Donc : [tex](x_A;y_A)=\dfrac{1}{2}(x_C+x_D;y_C+y_D)\\\\(-5;-1)=\dfrac{1}{2}(-6+x_D;-4+y_D)\\\\(-5;-1)=(\dfrac{-6+x_D}{2};\dfrac{-4+y_D}{2})\\\\\\\left\{\begin{matrix}-5=\dfrac{-6+x_D}{2}\\\\-1=\dfrac{-4+y_D}{2}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}-10=-6+x_D\\\\-2=-4+y_D\end{matrix}\right..\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_D=-4\\\\y_D=2\end{matrix}\right.[/tex]
Donc D(-4 ; 2)
3) Le triangle BCD est inscrit dans un cercle et son côté [CD] est un diamètre.
Par conséquent, ce triangle BCD est rectangle et [CD] est l'hypoténuse.
4) Dans le triangle BCD, nous avons :
[tex]sin(\widehat{BCD})=\dfrac{BC}{CD}[/tex]
Or [tex]BC=\sqrt{(x_C-x_B)^2+(y_C-y_B)^2}=\sqrt{(-6+4)^2+(-4+4)^2}\\\\=\sqrt{(-2)^2+0^2}=\sqrt{4}=2\\\\CD=2\times AC=2\sqrt{10}[/tex]
D'où [tex]sin(\widehat{BCD})=\dfrac{2}{2\sqrt{10}}=\dfrac{1}{\sqrt{10}}[/tex]
[tex]\widehat{BCD}=sin^{-1}(\dfrac{1}{\sqrt{10}})\approx18,43^o[/tex]
Par conséquent [tex]\widehat{BAD}=2\times18,43^o=36,86^o[/tex]
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