Bonjour ;
On peut résoudre cet exercice en suivant soit une démarche
algébrique soit en utilisant seulement le tableau de variation .
Méthode utilisant le tableau de variation .
a)
Le tableau de variation ne donne que h(0) = 4 ; h(1) = 3
et h(3) = 7 ; donc on ne peut pas conclure pour h(2) = 4 .
b)
Avec la même justification que pour (a) , on ne peut pas
conclure pour h(- 1) = 7 .
c)
D'après le tableau de variation , on voit que h(x) = 3,5
est vérifiée pour deux valeurs de x , l'une entre 1 et 3
et l'autre inférieure à 1 ; donc l'affirmation est fausse .
d)
D'après le tableau de variation , le minimum de f est 3 ;
donc pour tout x appartenant à IR , h(x) ≥ 3 > 1 ;
donc l'équation h(x) = 1 n'a pas de solution ;
donc l'affirmation est vraie .
e)
On a : h(3) = 7 > 4 ; donc 3 > 0 est une solution de
l'inéquation h(x) ≥ 4 ; donc l'affirmation est fausse .
Méthode algébrique .
h est une fonction polynomiale de second degré donc il existe un nombre réel non nul qu'on note "a" et deux nombres réels b et c , tels que :
h(x) = ax² + bx + c .
On a : h(0) = 4 ; donc : c = 4 .
On a aussi : h(1) = a + b + c = a + b + 4 = 3 ; donc : a + b = - 1 ; donc b = - a - 1 .
De même on a : h(3) = 9a + 3b + c = 9a + 3(- a - 1) + 4
= 9a - 3a - 3 + 4 = 6a + 1 = 7 ; donc : 6a = 6 ; donc : a = 1
et b = - 1 - 1 = - 2 ; donc : h(x) = x² - 2x + 4 .
a)
h(2) = 2² - 4 + 4 = 4 - 4 + 4 = 4 ; donc l'affirmation est vraie .
b)
h(- 1) = (- 1)² + 2 + 4 = 1 + 2 + 4 = 7 ; donc l'affirmation est vraie .
c)
h(x) = 3,5 ; donc : x² - 2x + 4 = 3,5 ; donc : x² - 2x + 0,5 = 0 ;
donc : Δ = (- 2)² - 4 * 0,5 * 1 = 4 - 2 = 2 > 0 ;
donc l'équation a deux solutions distinctes ;
donc : 3,5 a deux antécédents ;
donc l'affirmation est fausse .
d)
h(x) = 1 ;
donc : x² - 2x + 4 = 1 ;
donc : x² - 2x + 3 = 0 ;
donc : Δ = (- 2)² - 4 * 3 * 1 = 4 - 12 = - 8 < 0 ;
donc l'équation h(x) = 1 n'a pas de solution ;
donc l'affirmation est vraie .
e)
h(x) ≥ 4 ;
donc : x² - 2x + 4 ≥ 4 ;
donc : x² - 2x ≥ 0 ;
donc : x(x - 2) ≥ 0 ;
donc l'ensemble des solutions est : ] - ∞ ; 0 ] ∪ [ 2 ; + ∞ [ ;
donc l'affirmation est fausse .
